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1、=WORD完好版-可编写-专业资料分享=圆锥曲线的切点弦研究题引：由点P(1，3)引圆x2y29的两条切线，求即切点弦方程一探：切点弦在圆中分析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆x2y29的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆x2y29的两条切线为y3kx1，利用dr，求出k ，从而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可尽管运算较复杂，但倒是分析几何中最基础、最重要的方法解法1：如图751所示，设过P(1，3)引圆x2y29的两条切线为：y3kx1kxy3k0由题意易得dr3k3k0，或k3k214故设过点P(1，3)引圆x2y29的两条切线为：l1：y3，l2：3x4y15
2、0设两个切点分别为A、B，则联立y3与x2y29A(0，3)3x4y150与x2y29B（9125，）5故由两点式或点斜式易得两切点A、B所在的直线方程为x3y90分析2：如图751所示，设两个切点分别为A、B，利用逆向思想及抽象思想，由点P(1，3)引圆x2y29的两条切线，亦可看作分别过A、B作圆x2y29的两条切线订交于P-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=解法2：设切点A(x1，y1)，切点B(x2，y2)，则过A，B的圆的切线方程为：l3：x1xy1y90，l4：x2xy2y90又l3及l4都过P(1，3)，由此获取x13y190，x23y290从详尽到抽象
3、，则过两个切点的直线方程为x3y90分析3：因为过P(1，3)引x2y29的两条切线切线分别为PA、PB，则有PAO，PBO22联想到初中的四点共圆，获取巧解解法3：如图751所示，由图和题意及上边的分析获取四点P、A、O、B共圆，且圆的直径为OP，以直径的OP为直径的圆的方程为：x2y2x3y0那么过A，B的直线就是圆x2y2x3y0与圆x2y29的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A、B的直线方程为x3y90分析4：由上述解法3获取启示，切点弦其实就是以P点为圆心，以PA为半径的圆与圆x2y29的公共弦解法4：由题意易得PO=10，在RtPOA中，PA=1，则以P点为圆心，以
4、PA为半径的圆的方程为(x1)2(y3)21，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A、B的直线方程为x3y90分析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质解法5：设两个切点分别为A、B，连接AB与PO订交于Q，则有kOQkOP30113kAB03因为直线OQ的方程为y3x，于是令Q(x，3x)，利用OBPOQBOBOQOPOB-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=3(0x)2(03x)2(01)2(03)23x9927Q(，)1010102719x3y90yx10310这正是所要求的切点弦AB的直线方程分析6：利用定比分点公式获取一种极少人使用的好方法解法6：如图
5、751所示，连接AB，PO，设AB与PO订交于点C，则由平面几何中的射影定理等知识获取PCPCPO2PACOCOPO2OA由定比分点公式获取1 1= =9 9xC=1=9，yC=3=2711011011991上述解法5已得kAB，由直线的点斜式获取3271x9y3x3y901010二探我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切获取的交点，所以我们先从圆锥曲线的切线下手来睁开研究结论1：点M（x0，y0）在圆x2y2R2上，过点M作圆的切线方程为x0xy0yR2结论2：点M（x0，y0）在圆x2y2R2外，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程
6、为x0xy0yR2-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=结论2：（增补）点M（x0，y0）在圆x2y2R2内，过点M作圆的弦AB（但是圆心），分别过A、B作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线x0xy0yR2证明：由上述结论2可得过P(xp，yp)的圆的切点弦AB的直线方程为xPxyPyR2又弦AB过点M（x0，y0），即xPx0yPy0R2，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线x0xy0yR2上述结论能推行到圆心不在原点的状况吗？回答是必定的！结论3：点M（x0，y0）在圆(xa)2(yb)2R2上，过点M作圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)R2
7、结论4：点M（x0，y0）在圆(xa)2(yb)2R2外，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)R2结论4：（增补）点M（x0，y0）在圆(xa)2(yb)2R2内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过A、B作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：(x0a)(xa)(y0b)(yb)R2那么关于圆的一般方程呢？也会获取相同的结论吗？结论5：点M（x0，y0）在圆x2y2DxEyF0上，过点M作圆的切线方程为x0xy0yDx02xEy0yF02结论6：点M（x0，y0）在圆x2y2DxEyF0外，过点M作圆的两条切线，切点分
8、别为A，B，则切点弦AB的直线方程为x0xy0yx0xy0yD2EF02结论6：（增补）点M（x0，y0）在圆x2y2DxEyF0内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过A、B作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=x0xy0yDx0xy0yEF022运用类比推理，那么椭圆会有相似的结论吗？回答是必定的！我们知道：椭圆方程可以经过变换获取圆的方程，于是获取结论7：点M（x0x2y21（ab0）上，过点M作椭圆的切线方程为，y0）在椭圆2b2ax0xy0y1a2b2结论8：点M（x0x2y21（ab0）外，过点M作椭圆的两条
9、切线，y0）在椭圆b2a2切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为x0xy0y1a2b2结论x2y21（ab0）内，过点M作椭圆的弦AB8：（增补）点M（x0，y0）在椭圆2b2a（但是椭圆中心），分别过A、B作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：x0xy0y1a2b2证明：由上述结论8可得过P(xp，yp)的椭圆的切点弦xPxyPyAB的直线方程为2b21，a又弦AB过点M（x0，y0），即xPx0yPy01，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线a2b2x0xy0y1a2b2我们知道圆与椭圆均属于封闭曲线，那关于非封闭曲线，如双曲线能否也有相同的性质呢？回答也是必定的！结论9：点M（x0，y0x2y21（a0,b0）上，过点M作双曲线的切线）在双曲线2b2a-完好版学习资料分享-=WORD完好版-可编写-专业资料分享=方程为x0xy0y1
