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1、郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。绝对值化简专题训练2 （有难度）绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时， 经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析.一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.即I当技0时？|a|= J 0,当边二 0时|-a,当刊0时.绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关. 在数轴上表示个数的点离开原点的距离叫这个
2、数的绝对值.结合相反数的概念可知， 除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数. 反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数.例1 a, b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件?(1) I a+b | = | a | + | b |;丨 ab | = | a | b | ; (3) | a-b | = | b-a | ;若 | a | =b，则 a=b ;若 | a | v | b |，贝U avb;若 a b，则 | a | | b | .解 不对.当a, b同号或其中一个为 0时成立.(2)对.对.不对.当a 0时成立.不对.当b
3、 0时成立.不对.当a + b0时成立.例2设有理数a,b ,c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简| b-a | + | a+c | + | c-b | .* Scb o2團1-1解 由图1-1可知，a 0, bv 0, cv 0，且有| c | a | b | 0 .根据有理数加 减运算的符号法则，有b-a v 0, a + cv 0, c-b v0.再根据绝对值的概念，得| b-a | =a-b , | a+c | =-(a+c) , | c-b | =b-c .于是有原式 =(a-b )-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.例 3 已知 xv -3，化简：| 3+
4、| 2- | 1+x | |.分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号.解 原式=| 3+ | 2+(1+x) | (因为 1+x v 0)=| 3+ | 3+x |=| 3-(3+x) | (因为 3+x v 0)-x | =-x.例4若如,贝骨話評为有可能值是什么?解因为 abc丰0 ,所以a丰0 , b丰0 , cm 0 .当a, b, c均大于零时，原式=3 ;当a , b, c均小于零时，原式=-3 ;(3) 当a , b, c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1 ;(4) 当a, b, c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1 .所吩喘諮丽郦值心
5、，-说明 本例的解法是采取把 a, b, c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种 解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用.例 5 若丨 x | =3 , | y | =2，且丨 x-y | =y-x，求 x+y 的值.解 因为 | x-y | 0,所以 y-x 0, y x .由 | x | =3, | y | =2 可知，x v 0，即 x=-3 .(1) 当 y=2 时，x+y=-1 ;(2) 当 y=-2 时，x+y=-5 .所以x+y的值为-1或-5.例 6 若 a, b, c 为整数，且 | a-b | 19+ | c-a | 99=1，试计算 | c-a | + |
6、 a-b | + | b-c | 的值.解a, b, c均为整数，则a-b , c-a也应为整数，且| a-b | 19, | c-a | 99为两个非负 整数，和为1，所以只能是I a-b | 19=0 且 | c-a | 99=1 ,I a-b | 19=1 且 | c-a | 99=0 . 由有 a=b 且 c=a 1 ,于是 | b-c | = | c-a | =1 ;由有 c=a 且 a=b 1,于是 | b-c |=I a-b | =1 .无论或都有I b-c | =1 且 | a-b | + | c-a | =1 ,所以I c-a | + | a-b | + | b-c | =2
7、 .例孑若I x-y+3 I与lx+y-1999 I互为相反数，求的值.x - y解依相反数的意义有I x-y+3 | =- | x+y-1999 | .因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|x-y+3 | =0 且 | x+y-1999 | =0 .即fx-y+3=0, x + y-1999 = 0.由有x-y=-3，由有x+y=1999 .-得2y=2002 ,y=1001 ,所以=1999 + 1001 = iQoox - y例 8 化简：| 3x+1 | + | 2x-1 |.分析 本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号，则是很
8、容易的事.例如，化简|3x+1 |,只要考虑3x+1的正负,即可去掉绝对值符号.这里我们是分两种惰况加以讨论的，此瞅 赵是一个分界 点-类似地，对于丨而言，耳=土是一个分界点.为同时去掉 两个绝对值符号，我们把两个分界点-+和丄标在谿由上，把数轴分为三个部分（如图1 - 2所示），即x-p 4xr郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。这样我们就可以分类讨论化简了.郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。郑州郭氏数学内部资料；更多
9、学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x;(2)当时，原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2;(3) 当龙扌时，原式=(3x+1)+(2x-1)=5x一 1-5盟，当-二时；= x +当一 *瓦 时;当X吋.说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界 点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”.例 9 已知 y= | 2x+6 | + | x-1 | -4 | x+1 求 y 的最大值.分析 首先使用“零点分段法”将y化
10、简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者.解 有三个分界点：-3 , 1, -1 .(1) 当 x -3 时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,由于x -3，所以y=x-1 -4 , y的最大值是-4 .(2) 当-3 x 1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,由于x 1,所以1-x w 0 , y的最大值是0 .综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6.例 10 设 a v bv cv d,求I x-a | + | x-b | + | x-c | + | x-d |的最小值.分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦.
11、若能利用| x-a | , | x-b | , |x-c | , | x-d |的几何意义来解题，将显得更加简捷便利.解设a, b, c, d , x在数轴上的对应点分别为A, B , C, D, X，则| x-a |表示线段AX之长，同理，| x-b | , | x-c | , | x-d |分别表示线段 BX , CX, DX之长.现要求|x-a | , | x-b | , | x-c | , | x-d |之和的值最小，就是要在数轴上找一点X,使该点到A,B, C, D四点距离之和最小.因为a v b v cv d,所以A, B , C, D的排列应如图1 3所示：图1-3D所以当X在B
12、，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b).例11若2x+ | 4-5x | + | 1-3x | +4的值恒为常数，求 x该满足的条件及此常数的值.分析与解 要使原式对任何数 x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即 x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0 一种情况.因此必须有| 4-5x | =4-5x 且 | 1-3x | =3x-1 .故x应满足的条件是|3x-l0.解之得討恳？此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7 .练习二1 . x是什么实数时，下列等式成立:(1) | (x-2)+(x-4)| = |
13、 x-2 | + | x-4 | ;(2) | (7x+6)(3x-5)| =(7x+6)(3x-5)2 .化简下列各式:(2) | x+5 | + | x-7 | + | x+103 .若 a + b v 0,化简 | a+b-1 | - | 3-a-b | .4 .已知 y= | x+3 | + | x-2 | - | 3x-9 |,求 y 的最大值.5 .设 T= | x-p | + | x-15 | + | x-p-15 |，其中 0 v p v 15，对于满足 p x 15 的 x 来 说，T的最小值是多少？6 .已知a v b,求| x-a | + | x-b |的最小值.7.不相等的有理数 a, b , c在数轴上的对应点分别为A, B , C，如果| a-b | + | b-c |=| a-c |，那么B点应为().(1) 在A , C点的右边；(2) 在A , C点的左边；(3) 在A , C点之间；以上三种情况都有可能.
