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1、例说高三数学复习教学中的“联珠编网”421007 衡阳市八中 张贤华 投稿于2005年11月在“建构主义”理论指导下的数学课堂教学模式中的重要一环是“反思建构”。即在问题解决之后，学生的认知结构历经顺应或同化，进行了诸如概念、定理等一般性知识的意义建构，接下去教师的工作就是指导、帮助，促进学生建立这些知识、方法、思想间的联系。在进行高三数学复习教学时，前面二年的学习已使学生积累了大量的数学概念，定理、解题方法、数学思想等。这些知识象颗颗珍珠散落在学生的脑海中，教师在高三数学复习课教学中的一个重要任务就是适当引导学生将这些知识“联珠成线”、“织线成网” 。“联珠编网”的成果应表现为每个学生便于记
2、忆便于应用的方块图、流程表、方程式、文字和符号的表格形式，给学生一个系统的完整的知识间架结构图，使所需理解的知识系统化、简明化、图像化，从而帮助学生形成良好的数学认知结构。本文浅谈笔者在引导学生对章节教学内容，数学概念、定理、数学题型及解题方法等方面进行“联珠编网”时的一些做法与认识。不妥之处，请同行斧正。一、对本章的教学内容进行“联珠编网”，让学生心中有数在第一轮复习过程中，为了让学生了解全章的大致内容，明确自已的力量投放方向，可引导学生粗略地浏览本章教材，并尝试用框图等形式呈现本章的主要内容及其结构。案例1：在进行不等式这一章的第一轮复习时，可让学生先进行必要的回顾与阅读，然后师生共同构筑
3、如下知识结构框图：实数的性质不等式的性质不等式的证明不等式的解法比较法，综合法分析法，反证法换元法，放缩法一元一次不等式一元二次不等式高次不等式无理不等式指数、对数不等式含绝对值不等式含参数的不等式不等式的应用函数定义域函数值域函数单调性方程根的分布最值问题不等式应用题参数范围问题均值不等式得到这个框图的目的并不是要立即对这些内容进行详细的讲解，而是要激活学生对这部分内容已经相当淡化的记忆，培养学生对已有知识的归纳整理能力，同时吹响进军的号角，指明主攻的方向。二、对相关概念进行“联珠编网”，让学生准确把握 数学概念是进行判断、推理和建立定理的基础，清晰的概念是正确思维的前提，数学概念的归纳是高
4、三数学复习教学的重要组成部分。 高中数学的某些章节的的概念繁多，学生又难以把握，若教师在第一轮复习中只对这些概念作简单的罗列，势必加重学生的记忆负担，且达不到让学生深刻理解与掌握概念的目的。这就要求教师对这些概念的内涵与外延有一个宏观的把握，在进行概念复习教学时，重在引导学生对所学概念进行系统化整理，清晰展现相关概念的区别与联系。 案例2：多面体部分的概念较多，且易混淆，在复习这部分概念时，教师先请学生逐个回顾下述概念的定义：多面体、简单多面体、凸多面体、棱柱、棱锥、正棱锥、直棱柱、四棱柱，直四棱柱、正四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体。然后提问：你能用文氏图表示出分别由上述几何
5、体所构成的集合之间的关系吗？ 学生尽管已经逐个回顾了各个概念的定义，但在编织这个图的过程中仍然遇到了相当大的麻烦，这也从一个侧面反映了学生对这些概念的内涵与外延并没有确切地把握。在教师的适当点拔下，经过学生的合作学习，逐步得到以下文氏图：多面体简单多面体凸多面体棱柱棱锥正棱锥直四棱柱平行六面体四棱柱直平行六面体长方体直棱柱正四棱柱正方体三、对相关定理进行“联珠编网”，让学生有章可循线线平行线面平行面面平行面面垂直线面垂直线线垂直定义公理4平几结论定义定义定义定义定义三垂线定理及其逆定理定理是进行证明与推理的依据，缺乏对定理的系统掌握，就根本谈不上顺利的解题。到了高三，新课虽已上完，但许多学生对
6、定理的掌握仍然是零碎的，而我们面对的习题的综合性却在不断增强，教师若在第一轮复习时依然是在不同的课时逐个地罗列所学定理，这种“炒冷饭”式的复习学生往往会感到乏味，也会让学生在繁多的定理及综合性的问题面前头绪不清。因此笔者认为，在第一轮复习时，教师应有意识、有计划地引导学生对一些联系比较紧密的定理进行串联、整理、比较与归类，使学生将所学定理在脑海中编成一张“网”，也使学生今后在面对较复杂的问题时能“按图索骥”，顺利地找到证明与推理的依据。案例3：在解析几何的平行问题与垂直问题这一部分，教材中的定理多且分散，教师在复习这一部分内容时可引导学生分别以“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”、“线线垂
7、直”、“线面垂直”、“面面垂直”的判定为线索回顾相关定理，并且逐步形成如下网络图：（见上页）该图中每一个箭头表示一种判定方法，以线线平行的判定为例，图中6个箭头就表示线线平行的6种判定方法，具体地说，表示：a,b在同一平面内，且不相交ab；表示：ac,bcab；表示：平面几何两直线平行的几个判定定理，三角形或梯形中位线定理等平面几何的结论；表示：a,a,bab；表示：a,bab；表示：ab ab。学生脑中有了这张“网”，不但可以沿着这张网中的各条线路迅速找到证明平行问题与垂直问题的依据，同时也为以后“一题多解”奠定了基础。四、对典型题型与解题思想方法进行“联珠编网”，将学生从题海中解放出来例题
8、的讲解与探索是复习课尤其是第二轮复习课的重要组成部分，然而高中数学习题浩如烟海，为了避免学生在题海中盲目扑腾的现象，教师本人就应该能够纵观全局，掌握高考脉动。选编出的例题应对知识有复习功能，对方法有启示功能，对潜能有开发功能，发挥新背景题的作用，发挥开放题的作用。而且教师要善于引导学生将习题归纳成类，集中力量解决同类题中的典型问题，总结出解这一类问题的方法和规律，并以此为契机构建思维单元，使学生平时所学的零散知识系统化。一般可让学生从以下两方面进行归类：（一）将那些思想方法有相似之处的习题进行归纳类比案例4：含参数的不等式的问题最终一般化归为含参数的一元二次不等式来解，学生对这类问题只知应分类
9、讨论，却常常不知如何下手。教师可以选编如下一类例题：例1 解关于x的不等式：例2 解关于x的不等式：（2001年天津理科高考第17题）例1略解：(1)当3k-1=0, 即k=时，原不等式的解集是(2)当3k-10,即k时,当0,即0k时,方程 得原不等式的解集为x或当0,即,原不等式的解集为R.(3) 当3k-10,即k时, (以下略)综上: (略)例2略解：原不等式可化为，方程的两个解是 (1)当a0或a1时，有aa2，原不等式的解集是xaxa2.(2)当0a1时，有a2a，此时，原不等式的解集是xa2xa.(3)当a=0或a=1时，原不等式解集为 上述两个例题的解题过程显然渗透了转化化归思
10、想与分类讨论思想，教师可引导学生总结解上述含参数的不等式的一般思维流程： a0考察判别式大小确定a=00大小不确定0考察二次项系数a考察方程的两个根与的大小考察判别式写出解集讨论二根大小 （二）将那些在解法上具有逻辑关联性的题串在一起组成一个“题串” 案例5：求数列通项公式多年来是高考的热点问题，下面列举一些典型题：例1.(2004年高考数学试题(理必修+选修）第19题)数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn (n=1,2,3)。证明：(1)数列是等比数列； (2)Sn+1=4an例2.(2000年全国高考文理第15题)设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，），则它的通项
11、公式是=_.例3. (1997年上海高考理科第22题）设数列an的首项a11，前n项和Sn满足关系式：3tSn(2t3)Sn-13t (t0，n2，3，4，)(1)求证：数列an是等比数列；（2）（3）略 解法简析：例1对已知条件an+1=Sn至少有以下几种常见处理方法：消去an+1，得，于是是等比数列得证；消去an+1，得，用叠乘法或叠代法或“猜想+数学归纳法”求得，是等比数列便不难得证；消去Sn，得，于是便是等比数列，不难求得，以下过程不言自明；消去Sn，得，用叠乘法或叠代法或“猜想+数学归纳法”求得，以下同法。以上各种证法中显然法目的最明确，证法最简洁。但考虑到其余各种方法在其它题目中经
12、常用到，因此要鼓励学生经常进行这样的发散思维训练。在下述高考题中也可以找到上述解法的踪影：1994.全国.文25、1994.全国.理25、1999.全国.文.20、2004.全国.人教版理.22等.例2解法将已知条件转化为,然后用叠乘法或叠代法求通项,解法化已知条件为,从而得数列nan为常数数列(视为等差、等比数列的特例),从而通项易求。解法写出数列前几项,猜想通项公式(填空题当然无须用数学归纳法证明).例3第(1)问解法可由已知条件消去Sn与Sn-1，从而得到递推公式，再转化为等比数列求通项。解法将已知条件配凑成：，于是数列便成了等比数列，易求得数列an的前n项和公式，再由求得数列an的通项
13、公式。在本题中后一种解法大大难于前一种解法，但做过2004年高考数学试题(人教版理科)第22题的老师便不会认为做这种配凑训练是在浪费时间了。在下述高考题中也可以找到上述解法的踪影：2005.山东.理.21、2005.江苏.23等. 在学生分别完成上述训练后，教师可引导学生发现上述问题实际上可归结为数列an的关于an与Sn的关系式、递推公式、关于Sn的递推公式、前n项和公式、通项公式这5种关系式的转化，将上述各题的题型与解法串在一起便成了下图：关于Sn的递推公式关于an与Sn的关系式递推公式前n项和公式通项公式消去Sn消去an消去Sn猜想+证明配凑转化为基本数列叠乘叠加叠代猜想+证明配凑转化为基本数列叠乘叠加叠代 教师若仅仅就题讲题,不引导学生作发散、类比、归纳，则学生遇到新的问题仍然解不得法，便只能终日陷身于题海而不能自拔。经常进行这样的归类训练，学生便能把已掌握的结论或解题技能从一个题迁移到另一个题，举一反三，触类旁通，同时也有利于培养学生良好的思维品质。
