《第6节 离散型随机变量的均值与方差.DOCX》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第6节 离散型随机变量的均值与方差.DOCX（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6节离散型随机变量的均值与方差知 识 梳 理1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X)_(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，
2、p)，则E(X)np，D(X)np(1p)1D(X)E(X2)E(X)2；2已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解；3如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解诊 断 自 测1判断下列说法的正误(1)期望值就是算术平均数，与概率无关()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事()答案(1)(2)(3)(
3、4)解析均值即期望值，刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确2(选修23P68T1改编)已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B4 C1 D1答案A解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.3(2021宁波期末)已知随机变量X的分布列是()X123Pab若E(X)，则D(X)的值是()A. B. C. D.答案A解析由题意得解得则D(X)E(X2)E(X)2149，故选A.4一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二
4、等品件数，则D(X)_答案1.96解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，则XB(100，0.02)，所以D(X)np(1p)1000.020.981.96.5设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，x19的公差，随机变量等可能地取值x1，x2，x3，x19，则方差D()_答案30d2解析E()x10，D()(928212021292)30d2.6已知口袋中装有n(n1)个红球和2个黄球，从中任取2个球(取到每个球是等可能的)，随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列为：X012Pab则随机变量X的数学期望为_，方差为_答案1解析由已知得，且n1，解得n2，所以b，即b，由a1得a，则随机变量X
5、的数学期望E(X)0121，方差D(X)(01)2(11)2(21)2.考点一一般分布列的均值与方差【例1】 (1)(2021金丽衢十二校二联)设0a0，b0.且E(X)2，则b_，D(2X1)_(2)(2021浙江五校联考)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为，则E()_；若31，则D()_答案(1)24(2)解析(1)依题意得b1，解得b，所以E(X)02a2，解得a6，所以D(X)40166，所以D(2X1)4D(X)24.(2)因为随机变量的所有可能取值为0，1，2，则由两人加工相互独立得P(0)，P
6、(2)，P(1)1，故E()012，E(2)021222，所以D()32D()9E(2)(E)2.感悟升华具有线性关系的YaXb的两个随机变量X，Y的期望、方差的计算公式为E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)【训练2】 (1)随机变量X的分布列如下：X201Pp则p_；若Y2X3，则E(Y)_(2)随机变量X的分布列如表所示，若E(X)，则D(3X2)()X101PabA.9 B7 C5 D3答案(1)(2)C解析(1)由已知，得p1，所以p，且E(X)201，E(Y)E(2X3)2E(X)323.(2)由X的分布列得ab1，E(X)(1)0a1b，联立，解得则D(X)，则D(3
7、X2)325，故选C.考点三两点分布、二项分布的均值与方差【例3】 (1)若离散型随机变量X的分布列为X10P2aa则常数a_，X的数学期望E(X)_(2)(2021浙江三校三联)一个盒子中有大小形状完全相同的m个红球和4个白球，现从盒子中有放回的摸取6次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为X.若E(X)4，则m_，D(X)_答案(1)(2)8解析(1)由2aa1得a，X的数学期望E(X)10.(2)由题意得取出的红球个数XB，则E(X)64，解得m8，则D(X)6.感悟升华(1)利用两点分布、二项分布的期望与方差公式可减少计算量(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一
8、随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab)【训练3】 (1)(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p()A0.7 B0.6 C0.4 D0.3(2)(2021浙江名师预测卷四)某考生参加2019年高校自主招生面试，该考生共需要回答难度相同的三道题，每题回答正确的可能性均为，每答对一题得30分，答错一题扣10分，则该考生得分的均值、方差分别为()A60分，600 B50分，C50分，600 D6
9、0分，答案(1)B(2)B解析(1)由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，即(1p)20.5，所以p0.6.(2)由题意可知答对的题数X服从二项分布，即XB，则E(X)np2，D(X)np(1p)，令为考生的得分，则30X10(3X)40X30，所以E()E(40X30)40E(X)3050，D()D(40X30)402D(X)，故选B.基础巩固题组一、选择题1(2021浙江名师预测二)设a为非负实数，随机变量X的分布列为X012Pam若E(X)1，则a，m的值分别是()Aa，m Ba，mCa，m Da，m答案A解析由题意可得am.因为E(X)a2m1，所以m，a，故选A.2(2021浙江名校协作体模拟)随机变量的分布列如下表所示，若E()，则D(31)()101PabA.4 B5 C6 D7答案B解析由题意得解得则E(2)12，则D()E(2)E()2，所以D(31)9D()5.3设X是离散型随机变
