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1、利用二分法思想巧解零点存在性问题江苏 孔祥武二分法可用于求方程的近似解，在处理一类函数零点存在性问题时，利用二分法也可使问题快速获解，达到事半功倍的效果.例1 已知函数（是均不为零的常数），其导函数为,求证：函数在内至少存在一个零点. 分析 对，若直接使用零点存在性定理，考查，问题不能解决，可尝试考虑.解法1 ，（1）当时，取区间中点，易知，若时，则在内至少有一个零点.若时，则在内至少有一个零点.（2）当时，同理可证：在内至少有一个零点综上所述，函数在内至少有一个零点评注 利用二分法思想，取区间中点，把区间分为左右两部分，再结合零点存在性定理来判断.解法2 ，则，令，则，令，取，当时，所以在内
2、有零点当时，所以在（内有零点综上所述，函数在内至少有一个零点，即函数在内至少有一个零点 评注 等式两边同除以字母，首先化二次项系数为正，可减少优化讨论.解法3 ，若时，函数在内至少有一个零点若时，则函数在内至少有一个零点，综上可知，函数在内至少有一个零点评注 采用二分法,考查不明显时，转而三分法，考查与，其实都是一种尝试.例2 已知函数的图象上两点（ ），试判断在区间内是否存在一个实数，使得函数的图像在处的切线平行于直线,并说明理由.解 若存在处的切线平行于直线，则切线的斜率为，又直线的斜率为，所以，即考虑方程是否有解.下面的步骤我们考虑用三种方法解答.解法1 令，然后分情况考查是否在其值域内
3、.（1）当时，在上单调递减，因为，所以，故存在实数满足题意.(2)当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 因为，所以，故存在实数满足题意.(3)当时，因为，,所以，故存在实数满足题意.综上所述，函数在区间内存在实数，使得在处的切线平行于直线.解法2 令，问题转化为函数在区间内是否有零点.， ，当时，所以，所以在区间上必存在零点.当时，所以，所以在区间上必存在零点.综上，函数在区间上必有一个零点,所以函数在区间内存在实数，使得在处的切线平行于直线.解法3 ，取二次函数的最低点处（1）当时，方程在区间内有实数根（2）当时，方程在区间内有实数根（3）当时， 方程在区间内有实数根综上所述，方程在区间内
4、至少有一个实数根，即函数在区间内存在实数，使得在处的切线平行于直线.评注 解法1属于常规解法，解法2、解法3主要是利用了二分法思想，略显优势.解题的关键在于找到一个能判别符号的点，或是区间中点，或是函数的最高最低点，或是其它的点，然后利用二分法思想解题.例3 （江苏省盐城市20082009高三第一次调研）已知函数定义域为,设.（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；（2）求证:；（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.解 （1）.（2）略.（3）因为令，从而问题转化为证明方程在上有解,并讨论解的个数又,所以当或时，所以在上有且只有一解.当时，且，但由于所以在上有解,且有两解 .当时，或，所以在上有且只有一解， 当时，或，所以在上有且只有一解. 综上所述, 对于任意的,总存在,满足,且当或时,有唯一的适合题意；当时，有两个适合题意.评注 第3问，也可以令，然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图像的交点个数即可得到相应的的个数.注：本文发表于2010年数学通讯(学生刊)11月,12月合刊。1
