《非线性方程的解法2-2.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性方程的解法2-2.doc（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.6 非线性方程组的简单迭代法非线性方程组的简单迭代法与一元非线性方程的迭代法有相似之处。为简单起见，以二元方程组为例。 已知二元非线性方程组： (2-17)将式(2-17)改写为 (2-18)式(2-18)可以简记为 (2-19)其中： 将(2-19)写成迭代格式： (2-20)在求解区间内任取初值，按式(2-20)迭代，如果迭代序列最终收敛到，满足，则即为原方程的解。而如果迭代序列不收敛，则不能说明原方程无解，仅说明该迭代法失败。在给出收敛性定理之前，首先定义雅可比(Jacobi)矩阵： 简记： (2-21)定理2-2：设是的解，在内连续可微，且，则对任何在R中的初始向量，迭代产生的序列
2、都收敛于，且有误差估计： (2-22)定理2-2可以看作是定理2-1对于非线性方程组的推广。 例题2-4 用简单迭代法求如下方程组的根。 解：改写原方程组为 容易验证：当时，。实际上，当时，有 ， 根据、表达式，就有 ， 即，以后各次迭代均在此区域内。再考察雅可比矩阵： 按上面确定的取值区间，计算该矩阵的行和范数： 根据定理2-2，取初值、，则迭代 收敛，计算结果如下： 2.7 非线性方程组的牛顿法解非线性方程组的牛顿法，属于线性化的方法，它是将非线性方程组以一线性方程组来近似，由此构造一种迭代格式，用以逐次逼近最终的解。 考虑如下非线性方程组 (2-23)设已知式(2-23)解的一组近似值，
3、在此近似值附近将非线性函数、做级数展开，仅保留线性项：(2-24)令： ， (2-25)将式(2-24)、(2-25)代入到式(2-23)，得到一个关于、的线性方程组(2-26)如果式(2-26)的系数行列式不等于零，即 (2-27)那么，就可从式(2-26)解线性方程组求得、，再由式(2-25)得到原非线性方程组的一组新近似值： (2-28)以代替，重复以上过程，直至满足条件： (2-29)为止。最后得到的近似值即为所求解。这里的是给定的允许误差。可以证明，在式(2-27)条件下，当初值充分接近原方程的解时，牛顿迭代过程收敛速度很快。但如果初值不好，很有可能发散。2.8 非线性方程组的最速下
4、降法最速下降法属于求函数极小值的方法，它是由已知非线性函数构造一个模函数，然后求出模函数的极小值点，而此极小值点就是非线性方程组的一组解。 一、计算方法 设已知非线性方程组 (2-30)构造模函数 (2-31)显然，方程组(2-30)的解是模函数的零极小值点，反之亦然。因此，可以通过求的零极小值点来得到方程组(2-30)的解。模函数在几何上是一个空间曲面，它与平面相切的点即是它的零极小值点。见图2-8(a)。 图2-8 最速下降法如果从求解区间内的某点出发，沿着使值下降的方向行进，一直降到它的零极小值点，那么就可以得到所求问题的解。 在一点处等高线的法向是函数的梯度方向 (2-32)是使值上升
5、最快的方向，因此其反方向就是下降最快的方向。最速下降法就是沿着这样的方向来逐步下降值从而求解的，因此得名。具体做法如下：设是解的一个近似值，计算在此点的梯度 (2-33)其中 角标“0”表示括号内的函数在点取值。从点出发，沿该点负梯度方向跨出一适当步长，得到一组新的近似值 (2-34)参数用来调整步长，其值应使新点是在此方向上的相对极小值点，即 (2-35)为了求得恰当的值，将在附近作级数展开，并略去及高次项，得到的近似式 (2-36) 为使取极小，令 (2-37)由此解得 (2-38)将值代入到式(2-34)得到新点，以此作为沿方向的相对极小值点的近似值。不过这里要注意，如果所得值能使式(2
6、-35)成立，则就取该值；否则，就要缩小值，例如取代入式(2-34)，直至式(2-35)满足为止。这样就完成了第一步计算，然后以取代重复以上过程，直至降至充分小为止。关于值的确定，上面是较精确的作法，下面是简化方法：将在附近作级数展开时，只保留的一次项(上面作法是保留到项)，得到的近似式 由于目标是使取极小，可令 由此解得 (2-39)以此值替换式(2-38)继续前述过程。 二、几点说明1、一般来讲，最速下降法对任意初值都能收敛，而且开始阶段收敛较快，但接近真解时，收敛速度十分缓慢，这与牛顿法刚好相反。因此，在实际计算中，可将两者结合：开始采用最速下降法，离真解较近时，改用牛顿法。2、对难于求偏导数或偏导数计算过于繁复的问题，可以用差商来近似微商(详见本书第五章)： 关于步长h可以这样选取：开始如取，在第k次迭代时，取 其中为上一次的迭代修正量。3、因为机器字长的原因，当模函数值较小时，可能影响计算精度，这时可取 4、关于非线性方程组的蒙特卡洛解法详见本书第八章。
