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1、中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉 斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n充分大时，方 差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当 广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件 下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导 致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分 内容。中心极限定理主要
2、描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列XI、X2、讥口、 的部分和的分布律：当n8时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分 布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用1、定理一若匸（林德贝格一勒维定理） g列独立同分布的随机变量，且=a,60),k=1,2,一 nakt2xe一2 dt。一 8当n充分大时,才 g - naN(0,1),g、nY gk N ( na, nG 2)k=12、定理二（棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。，错误！未卩一 np112找到引用源。为n次试
3、验中事件A出现的次数，贝Jlimp（n；Tei5000|=pf T!L-50n t 5Vnini；XI.977 2 水即最多可以装98箱。例32：报名听心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负 责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120,就分成两班，否则就一班讲授。问该教授 讲授两个班的概率是多少？分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120,精确解为P(x2120) =e-100 100i/i!很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机 变量等于100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X= Xi，其中每个Xi具有参数1
4、的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。詈 X厂 ioo_x_iO0Fo 10解：可知 E(X)=100, D(X)=100-；：.；、即教授讲授两个班的概率是0.023。例4口火炮向目标不断地射击，若每次射中目标的概率是0、1。(1) 求在400次射击中击中目标的次数在区间30, 50内的概率。(2) 问最少要射击多少次才能使击中目标的次数超过10次的概率不小于0.9?分析：显然火炮射击可看作是伯努利实验。我们知道，正态分布可近似于二项分布，而且泊松分布可近似于二项分布，当二项分布b(n，p)，n较大、p较小时可用泊松分布估计近似值。如果p接近1,有q=l-p很小，这时也可 用泊松分布
5、计算；但是当n较大，p不接近0或1时，再用泊松分布估计二项分布的概率就 不够精确了，这时应采用拉普拉斯定理来计算。解：(1)设在射击中击中目标的次数为Yn,所求概率(30WYn50)等于：W4IMI x 0.1 x |. a 寸屯斤x 仇9” 一典卿兰 QJI 6T -74)x o j 70 ?TfT 小芒 c lt= 1 R () & 也977T2Vn【tl正主汾布的性Hi町知便紂1负的,等价于血4 0内从正走莎布丧中査出血(L28) =0*9最小正整数n=147就是所要求的最小射击数。以上例子都是独立同分布的随机变量，可以用中心极限定理近似估算，但是如果不同分 布，中心极限定理是否也成立呢
6、？李雅普诺夫定理当随机变量Xi独立，但不一定同分布时，中心极限定理也成立。定理32(李雅普诺夫定 理)：设XI, X2,，Xn,为独立随机变量序列，且E(Xn)=an, D(Xn)=O n2存在，Bn2= O n2(n=l, 2，)，若存在&0,使得：宦雀3莪明在進理条件下，加i很丸11或池机变駅孰近似脆从正态莎布N(h叽也就是说，无论各个随机变量Xi服从什么分布，只要满足李雅普诺夫条件，当n很大时，它们的和近似服从正态分布。 由于在大学本科阶段接触的不同分布的样本较少，本文对它的应用将不举例说明。 中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总 是近似地服从
7、正态分布。正是这个结论使得正态分布在生活中有着广泛的应用。四、中心极限定理的意义首先，中心极限定理的核心内容是只要n足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的 标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多 自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重 要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。其次，中心极限定理对于其他学科都有着 重要作用。例如数理统计中的参数(区间)估计、假设检验、抽样调查等；进一步，中心极 限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路，用样本推断总体的关键在于掌握样本特征 值的抽样分布，而中心极限定理表明只要样本容量足够地大，得知未知总体的样本特征值就 近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把 数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方 法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。参考文献1 邓永录著 应用概率及其理论基础清华大学出版社。2 魏振军著 概率论与数理统计三十三讲.中国统计出版社。3 程依明等 著 概率论与数理统计习题与解答.高等数学出版社。
