《第六讲：函数与方程思想.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六讲：函数与方程思想.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六讲： 函数与方程思想一、知识整合1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3(1) 函数和方程是密切相关的
2、，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点。(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4) 函数f(x)（nN*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决
3、很多二项式定理的问题。(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、例题分析例 1 动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDOMABCD解：设正方体的棱长为，由图形的对称性知点始终是的中点，而且随着点从点向的中点滑动，值逐渐增大到最大，再由中点向点滑动，而逐渐变小，排除，把向平面内正投影得，则=，由
4、于，所以当时，为一次函数，故选例 2 关于x的方程sinxcosx0有实根，则实数的取值范围是_设cosxt， t-1,1，则sinx+t2=1则att1,1，所以答案：,1例 3 设不等式2x1m(x1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立则x的取值范围为_ _问题可变成关于m的一次不等式：(x1)m(2x1)0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x2时，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3问题转化为g(m)在m，3上恒对于0，则：；解得：x2或x0时单调递减 即q为真“p或q”为真，“p且q”为假p真q假时，a2且aV1 x图（A） 图（B） （I）设切去正方形边长为x，则
5、焊接成的长方体的底面边长为42x,高为x,所以V1=(42x)x=4(x 4x+4x),(0x2). =4(3x8x+4)令=0,得x=, x=2(舍去)而=12(x)(x2),又当x0,当x2时, VV1故第二种方案符合要求。 3 图 图 图另外还可以如图及如图 图 图V=24= V V= V例 10 已知在上是增函数，在0，3上是减函数，且方程有三个实根，它们分别是()求b的值，并求实数的取值范围;()求证:().在上是增函数，在0，3上是减函数. 当x=0时取得极小值. b=0. . . 方程有三个实根, a0. =0的两根分别为 又在上是增函数，在0，3上是减函数.在时恒成立,在时恒成
6、立.由二次函数的性质可知. . 故实数的取值范围为. ().可设 又 有 例 11 对于函数f(x)，若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点 已知函数 （1）若a=1,b=2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值 解 （1）当a=1,b=2时，f(x)=x2x3，由题意可知x=x2x3，得x1=1,x2=3 故当a=1,b=2时，f(x)的两个不动点为1,3 （2）f(x)=ax2+
7、(b+1)x+(b1)(a0)恒有两个不动点，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有两相异实根=b24ab+4a0(bR)恒成立 于是=(4a)216a0解得0a1故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1 （3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又A、B关于y=kx+对称 k=1 设AB的中点为M(x,y)x1,x2是方程ax2+bx+(b1)=0的两个根 x=y=，又点M在直线上有，即a0，2a+2当且仅当2a=即a=(0,1)时取等号，故b，得b的最小值三、总结提炼有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函
8、数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决此类题的重点是熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性难点是挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键四、课外练习1 已知函数f(x)=loga(2a)2对任意x,+都有意义，则实数a的取值范围是( )A (0, B (0,) C ,1 D (,）2 函数f(x)的定义域为R，且x1，已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)=2x2x+1，那么当x1时，f(x)的递减区间是( )A ，+ B (1, C ,+ D (1,3 关于x的方程lg(ax1)lg(x3)=1有解，则a的取值范围是 4 如果y=1sin2xmcosx的最小值为4，则m的值为 5 设集合A=x4x2x+2+a=0,xR （1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；（2）若对于任意aB，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范围6 已知函数f(x)=6x6x2，设函数
