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1、逻辑规则给出数学语句的准确含义。逻辑规则有助于我们理解语句及其推理。为了理解数学，我么就必须理解正确的数学论证（即证明）是由什么组成的。一个定理的证明常常可能需要修改结论以适应新环境，所以证明在新思想的发展中扮演了极其重要的角色。命题逻辑=命题+逻辑，涉及命题的逻辑领域称为命题演算或命题逻辑。命题是一个或真或假的陈述语句，即一个陈述事实的句子，不能既真又假。非pp合取qp析取qp异或q条件语句：若p，则q。条件语句也称为蕴含。逆蕴含（converse），倒置蕴含（contrapositive），反蕴含（inverse）。等价：逆蕴含与反蕴含等价，只有倒置蕴含与原条件语句等价。双条件语句（bi-
2、implications）：if and only if复合命题逻辑运算符的优先级翻译语句位运算命题等价数学证明中使用的一种重要方法是用真值相同的一条语句取代另一条语句。如果一个复合命题，无论其中出现的命题的真值是什么，该命题的真值总是真，则该复合命题称为永真式（tautology）。同样有永假式（contradiction）和可能式（contingency）。一个合取式包含每个变量，每个变量（包括变量的否定）出现一次且仅出现一次，称这样的合取式为小项。由若干个小项的析取构成的析取式，称为析取范式。如果m1,m2,.,mn是小项，m1m2.mn是析取范式。一个析取式包含每个变量，每个变量（包括
3、变量的否定）出现一次且仅出现一次，称这样的析取式为大项。由若干个大项的合取构成的合取式，称为合取范式。如果M1，M2,.,Mn是大项，M1M2.Mn是合取范式。初步发现，析取范式是由真来定的，合取范式是由假来定的。谓词和量词：由于命题逻辑不能充分地表达数学语言和自然语言中语句的意思，所以引入谓词逻辑。含变量的语句，常见于数学断言和计算机程序，以及系统的规格说明。谓词函数一般涉及n个变量x1,x2,.,xn的语句可以用P（x1,x2,.,xn）表示。形为P（x1,x2,.,xn）的语句是命题函数P在n元组x1,x2,.,xn的值，P也称为n元谓词。前置条件和后置条件量词当命题函数中所有变量均被赋
4、值时，得到的命题有一个真值。还有一个方式也可以从命题函数产生命题，这就是量化。量化表示谓词在一定范围的事物上成立的程度。程度：全称量化和存在量化The area of logic that deals with predicates and quantifiers is called the predicate calculus（谓词演算）.全称量词：许多数学命题对于某一性质在变量的某一特定域内的所有值均为真，这一特定域称为变量的论域（全体域），简称域。这一类语句用全称量化表示。P（x）对特定论域的全称量化是指：它断言P（x）对x在其论域中的所有值为真。在用全称量词时必须指定论域，否则语句的全
5、称量词无意义。全称量化中，对P（x）是假的对象称为反例(counterexample)。Remark: its best to avoid to use“for any”because it is often ambiguous as to whether“any”mean“every”or“some”.in some cases,“any”is ambiguous,such as when it is used in negative,for example,“there is not any reason to avoid studying.”P（x）的存在量化是命题“论域中存在一个元素x
6、满足P（x）。当使用存在量词语句时，必须指定论域。而当论域变化时，存在量词语句也变化。若没指定论域，则存在量词语句没有意义。存在量化和析取式一回事，全程量化和合取式一回事。其他量词：如唯一量词，一个缩略符号常用来约束量词的论域。在这个符号里，在量词后有一个量词必须满足的条件。全称量化的约束和一个条件语句的全称量化等价。 与 量词比所有命题演算的逻辑运算符有更高的优先级。绑定的量词和自由的量词涉及量词的逻辑等价，当且仅当无论什么谓词代入这些语句，也无论用哪个个体论域于这些命题函数里的变量上，他们都有相同的真值。否定量化表达式嵌套量词：指出现在其他量词的作用域内的量词，量词范围内的所有事物都可以被认为是命题函数。循环量化考虑量词的顺序，许多数学语句需要对多变量命题函数作多重量化。除非所有量词均为全称量词或均为存在量词，否则量词的顺序是很重要的。学习量词嵌套的目的是将数学或自然语句翻译成量词嵌套的语句
