《暑期初升高数学衔接讲义-第1讲-集合的概念与表示(教师版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《暑期初升高数学衔接讲义-第1讲-集合的概念与表示(教师版)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、暑期初升高衔接讲义数学第一讲 集合的概念与表示 教师版第一讲 集合的概念与表示一、【知识梳理】知识点一 集合的有关概念1、集合 “物以类聚，人以群分”，应该指的是：把指定的所有的“物”聚在一起，或所有的 “人”分在一起在数学上，我们把它叫做“集合”。一般地，把某些指定的对象放在一起就构成一个集合，简称“集”。如：某校全体的高一学生；我国从1991年到2003年的13年内发射的每一颗人造卫星。2、常用数集及其记法 数的集合简称数集下面是一些常用的数集及其记法：（1）自然数集（非负整数集）：全体非负整数的集合，记作N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记作N*或N+；（3）整数集：全体整数的
2、集合，记作Z；（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q；（5）实数集：全体实数的集合，记作R；3、元素与集合的关系 我们把集合中的每个对象叫做这个集合的元素，集合中的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合则用大写的拉丁字母表示。 （1）属于：如果是集合A的元素，就说属于A，记作. （2）不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作。 如：用A表示“08年奥运会中国篮球队队员”，姚明A，李宁A。4、集合中元素的特性 （1）确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个元素都能明确它是或不是某个集合的元素，二者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准，如“高个子同学”，“高个子”便是一个含混不清
3、的概念，具有相对性，没有统一的标准，不确定。 （2）互异性：是指给定一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素。 （3）无序性：是指集合与其中元素的排列顺序无关,只要构成这两个集合的元素一样，就称这两个集合相等。5、集合的分类（按集合中元素的个数可分为以下几类） （1）有限集：含有有限个元素的集合，如：中国古代的四大发明组成的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合，如：所有自然数组成的集合； （3）空集：不含任何元素的集合，如：方程的解构成的集合。知识点二 集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列
4、举法和描述法来表示集合。1、 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：“中国的直辖市”构成的集合：北京,天津,上海,重庆；从51到100的所有整数组成的集合：51，52，53，100；所有正奇数组成的集合：1，3，5，7，。注意：a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素。2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。如：x|x-32； (x,y)|y=x2+1；所有的直角三角形的集合可以表示为是直角三角形3、图示法（维恩图）：用一条封闭的曲线的内部表示一个集合的方法.二、【典例剖析】题型一 集合的概念【例1】
5、判断下列对象能否组成集合：高一（1）班成绩较好的同学； 2013年度诺贝尔经济学奖获得者；立方接近0的正数； 第十一届全运会所有比赛项目；由组成的集合与由组成的集合是同一个集合答案:不正确;正确题型二 集合中元素的特征【例2】已知，且，试求的值。（答案：或）【变式】1、集合中的不能取的值有 5 个2、已知，M=N求的值。（答案：1）3、若，求实数的值.解：，或或.若，则集合为，符合题意若，则集合为，不符合元素的互异性，故(舍去)若，则1或（舍去）集合为，符合题意.综上知：或. 题型三 集合的表示方法【例3】设为非零实数，则的所有值组成的集合为（ ）A. B. C. D. 解：当全为正数时，当全
6、为负数时，当中只有一个为负数时，当中只有两个为负数时，所组成的集合为.故应选D.【变式】下面三个集合：，.问：（1）它们是不是相同的集合？（2）它们的各自的含义是什么？解：（1）不是相同的集合.（2）集合是函数的自变量所有允许值组成的集合；集合是函数的所有函数值的集合，；集合是函数图象上所有点的坐标组成的集合.题型四 集合与元素的关系【例4】设集合,（1）试判断元素1和2与集合的关系；（2）用列举法表示集合。（答案：;）【变式】若数集满足：若，则.求证：（1）若，则中另有两个元素；（2）集合不可能是单元素集；（3）集合中至少有三个不同的元素.证明：（1）若则；若，则.时，集合中另有两个元素和.
7、（2）（用反证法证明）若为单元素集，则，即.此方程无实数解.与都为集合的元素，则不是单元素集.（3）则.又，即，则.又.现证明：三数互不相等.若，此时方程无解，.若，此时方程无解，.若，此时方程无解，.综上，集合中至少有三个元素题型五 集合中的新定义问题【例5】已知，定义集合间的运算，则等于（ C ） 练习：对任意两个正整数，定义某种运算（用表示运算符号）：当都是正偶数或都是正奇数时，；当中有一个为正奇数，另一个为正偶数时，则在上述定义下，集合中的元素个数（ C ）21 22 23 24 综合应用【例6】已知集合，集合，当时，求集合.解：方程有两个相等的实数根2.【例7】已知集合. （1）若是
8、空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围.解：（1）方程的判别式，解得：.（2） 中只有一个元素，方程仅有一个根.当时，的根为，.当时，.这时方程有两个相等实根为，.（3）若中至多只有一个元素则方程的判别式或解得：或.课 后 作 业一、基础练习1、用符号或填空： ； ； .2、下列各组集合表示同一集合的为（ B ）.A. B. C. D. 3、下列各条件：充分接近的实数的全体；大于0小于20的自然数的全体；实数中不是有理数的所有数；数轴上到原点的距离大于2的点的全体.其中能确定一个集合的是（ C ）A. B. C. D.4、设为两个非空实数集合，定义集合，若，则中元素的个数为（ B ）A.9 B.8 C.7 D.6 5、集合，集合，且，则有（ D ） A. B. C. D. 二、延伸拓展6、集合由正整数的平方组成，即，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，对下列集运算封闭的是（ C ）A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法7、 设集合，则集合中所有元素之和为 2 8、 集合 9、已知集合，求答案：第 1 页 共 7 页
