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1、第一讲 循环小数第一讲 循环小数 一、 认识小数： 1. 有限小数：是指位数有限的小数。 2. 无限小数：是指经计算化为小数后，小数部分无穷尽，不能整除的数。无限小数又分为无限循环小数、无限不循环小数。 3. 循环小数：从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数。被重复的一个或一节数码称为循环节。循环节从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫混循环小数 。 二、 分数与小数： 1. 分数小数： 1) 计算法：小数=分子分母。 2) 凑分母：逆用循环小数化分数。 3) 判断法：一个最简分数。 a) 如果分母中只含有质因数2和5，
2、那么这个分数化成小数必是循环小数。且分母分解质因数标准式中2和5的最高指数为小数位长度。如：。 10.52.b) 如果分母中不含有质因数2和5，那么这个分数化成小数必是纯循环小数。如：。 10.1428577.c) 如果分母中既含有质因数2或5，又含有其他质因数，那么这个分数化成小数必是混循环小数。且分母分解质因数标准是中2和5的最高指数为小数非循环部分长度。如：。 10.166.2小数分数： 有限小数化分数：小数表示的就是十分之一、百分之一、千分之一.，所以，。 80.08100. 循环小数化分数： a) 分数的分母是由一堆9、一堆0组成，9在前、0在后。循环节的长度决定9的数量，非循环节的
3、长度决定0的数量。 b) 分数的分子是小数点与第二个循环节开始前（不含）中间部分剪掉非循环部分得到的。 c) 分数整数部分也为小数整数部分。 如：，（记得结果应为一个最简分数），。 170.1799.1220.123990.113.12390.d) 证明：， 设=A 1220.123990.0.123.则有： ， 即： ， 。 -得：， 所以， 0.12310=10A.0.1231000=1000A.1.23=10A.123.23=1000A.1231(100010)A.1231122100010990A.三、 常见循环小数化分数 1. ，, 。 10.1428577.20.2857147.3
4、0.4285717.60.8571427.2. ；。 10.19.10.33. 四、 例题解析 例1 判断下列分数能否化成有限小数，不能化成有限小数的说明是纯循环小数还是混循环小数： （1） （2） （3） （4） 2348003510012380141240【分析】 根据一个最简分数化小数的判断特征得： （1）混循环小数、（2）纯循环小数、（3）有限小数、（4）有限小数（此分数不是最简分数） 例4 将化成小数等于，是个有限小数；将化成小数等于，简记为，是纯循环小数；将化成小数等于，简记为，是混循环小数。现在将个分数，化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？ 120.51110.0909.0.0
5、9.160.1666.0.16.200412131412005【分析】 若分数可以化成循环小数，那么这个分数在最简分数下分母中不含有质因数2和5. 所以，根据容斥原理：不含2和5数量=总数-含2数量-含5数量+既含2又含5的数量 则有，含2：，含5：，既含2又含5： 所以，循环小数有： 200510022.个20055015.个200520010.个2004-1002-501+200=801个例2 如果，那么A的各位数字之和等于 。 .20103333333333A.个【分析】 此题可以运用多种方法求解，如：凑整法、位置原理、错位相减，此题重点学习错位相减法。 ，由10得：。 -得： 即， 所
6、以，数字和为:. 这实际上就是错位相减法。 例3将下列循环小数化为分数： .20103333333333A.个.20103103033033303330A.个.20103320109333033333327300A.个2006个次.3668370333273009370370370369700A.2006个个66810256705.（1）0.7 （2）0.81 （3）1.216 （4）0.407 （5）4.3861 （6）0.86.（7）0.51 （8）0.409 （9）0.2954 （10）0.4189 （11）0.7612 （12）0.7857142【分析】 根据循环小数化分数的特征，我们
7、可以立即应用此结论直接写出： 例5（1）计算： （2）将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少? 79.（1）0.7= 81=99.9（2）0.81=112168=199937.（3）1.216=1407=999.11（4）0.407=273861=9999.39（5）4.3861=441018687813909015.（6）0.86=5154623909045.（7）0.51= 409445999011022.（8）0.409=2954292925139900990044.（9）0.2954= 418944185319990999074.（10）0.4
8、189=76127760516999909990222.（11）0.7612=78571427611109999990107014.（12）0.7857142=0.010.120.230.340.780.89.0.027.0.179672.【分析】 (1) 原式 1121232343787898909090909090. 11121317181909090909090.21690.2.4. 原式 2717967299999999. 由于取近似值，保留一百位小数，所以要计算到小数点后第101位后根据四舍五入原则得到小数点第100位数字是多少。 ，则第101个为5入到第100位，所以，第100位上
9、数字为“9”。 例6已知真分数化成小数后，从小数点第一位数字起连续若干个数字之和为，求的值。 117967237999999.48560.004856999999.1016=165.组个13a1999a(1) 真分数化成小数后都为纯循环小数,且。如：，是以076923为循环 13a12a.10.07692313.节的无限纯循环小数，每个循环节之和：0+7+6+9+2+3=27。 由，即74个循环节之和是7427=1998，再设法找到一个含有以1为首的循环节的小数即可，可知的循环节是076923，则的循环节就是，刚好以1为首。所以，。 例7划去小数后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到一
10、个循环小数，例如：。请计算出这样的循环小数中最大的数和最小的数的差。 199927741.1132130769232153846.2a.0.573836229810.573836229.(2) 小数0.57383622981为了让它生成的循环小数尽量的大，也就是让靠前的数位上的数字尽量 的大，那么最大的循环小数也就是，相反的最小的循环小数就是。 所以，两个数的差应该是= 例8我们把由数字和组成的小数叫做“特殊数”，例如、都是“特殊数”。如果我们将写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个？ 0.57.0.573.5757399999.0.002184.077.07.77.0071(3) 假设这个等
11、式两边一边是1，另外一边是全由0和7组成的数，那么等式两边同时除以7就变成另外一个等式，其中等式的左边是，等式的右边全是由0和1组成的数，于是这道题目就变成用全由0和1组成的数，相加得到，显然需要至少八个这样的数，例如 170.142857. 0.1428570.1111110.0111110.0101110.0101110.0001110.0001010.0001010.000100.五、 学案答案 【超常班学案1】 共6个。 共6个。 【超常班学案2】 (1) ； 164532671.14.【超常班学案3】 (1) 循环节长度是3 循环节长度是4 【超常班学案4】 最小循环小数为 【超常123班学案1】 l.80524102007. 所代表的数是 内所填的数字是 0.03.8【超常123班学案2】 （1）； ； （3）()； （4） 【超常123班学案3】 第位上的数字和为. 【超常123班学案4】 最大的一个自然是。 8999902090.012345679.123456799111111111.0.113.10099.2918929159.
