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1、函数的定义域1、 函数的定义域是指能使函数式有意义的实数x的集合，它是函数不可缺少的组成部分。2、 确定函数定义域的原则：、 当函数用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。、 当函数用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合。、 当函数用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合。、 当函数用实际问题给出时，函数的定义域是由实际问题的意义确定。3、 确定函数定义域的依据、 若是整式，则定义域为全体实数、 若是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合、 若是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合、 若是零指数幂或负指数幂
2、时，定义域是使幂的底数不为0的x的取值的集合、 若是对数式时，定义域是使真数大于0同时底数为大于0且不等于1的正数x的取值的集合4、 复合函数的定义域的求法已知函数及函数，则我们把函数，叫做复合函数。、若已知函数的定义域为，求的定义域，其方法是：利用求得的范围，此即的定义域。、若已知的定义域为，求的定义域，其方法是：利用，求得的范围，此即为的定义域。5、 例题精讲1、 求下列函数的定义域； ； ； 注意：求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借肋数轴，并且要注意端点值或边界值。2、 已知函数的定义域为，且，求的定义域。解：的定义域为，即，那么，又且， 当时，
3、 当时，即或综上所述：当时，； 当时，3、 已知函数的定义域为，那么函数的定义域是_.4、 已知函数的定义域是，求函数的定义域是_。5、 已知，函数的定义域是，求函数+ 的定义域_。6、课后练习：1、求函数的定义域。2、函数的定义域为_。3、已知函数的定义域是，求函数的定义域。4、已知的定义域为，求的定义域。5、已知函数的定义域 R，求实数m 的取值范围。6、若函数的定义域是R，求实数a的取值范围。7、（1）若的定义域为，求的定义域。 （2）若的定义域为，求的定义域。 （3）若的定义域为，求，的定义域。8、已知函数（1）求此函数的定义域。（2）若此函数的定义域为R，求a的取值范围。（3）若此函
4、数的定义域为，求a的值。解：（1），当1时，定义域为R；当=0时，即a=1时，无意义；当0时，即0a1.（3）由题意，的解集为 函数的表达式一、求函数的表达式常用的方法有：待定系数法、消元法、换元法、定义法等等。二、例题精讲1、（1）设是一次函数，且，求；（2）设二次函数的最大值为13，且，求的解析式。 （3）函数是偶函数，是奇函数，若+，求。2、设二次函数满足，且=0的两实根的平方和为10，图象过（0，3）点，求的解析式。3、设满足关系式，求。4、设满足关系式，求。注意：凡已知式中为关于与或与或与的（其中“”是使有意义的数或式子），多采用换元法与解方程组结合求函数的解析式。5、已知，求。6、
5、已知，求。7、已知，求。注意：在换元法中，要注意到未知量的取值范围的变化。三、课后练习：1、已知是二次函数，且，求。2、求一次函数，使。3、已知，求。4、定义在R上的函数满足，求。5、已知是定义在-6，6上的奇函数，它在0，3上是一次函数，在3，6上是二次函数，且当时，求的解析式。解： 时，是二次函数，且 当时，二次函数有最大值3，当时可设，由得 当时， 由于为奇函数， 。 当时，为一次函数，由，得，由是奇函数，当时，；当时，； 6、已知，求。7、设二次函数满足，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求的解析式。8、已知函数，为一次函数，且是增函数，若，求的解析式。9、已知，求函数的
6、解析式。10、已知为二次函数，对任意实数有，求的值。11、若有定义在R上的奇函数满足，若时，求时的解析式。解：当时， ， ， 当时，12、已知，求。函数的值域（及最值）一、内容简介求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式，常用的方法有：（1） 直接法有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。如函数的值域为。（2） 配方法二次函数或转化为形如类型的函数的值域问题，均可用配方法，而后面的函数要注意的范围。（3） 换元法运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如均为常数，且的函数常用此法求值域。特别需要注
7、意的是：新元的取值范围与旧元的范围不一定相同。（4） 分离常数法形如的函数值域可用此法。（5） 判别式法形如不同时为零）且满足函数的定义域必须是R；分子与分母没有公因式，这样的分式函数求值域可用判别式法。（6） 单调性法确定函数在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性，求出函数的值域。形如的函数以及形如的函数均可使用此法求值域。（7） 数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求出其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域。（8） 函数的有界性法形如，可用表示出，再根据解关于的不等式，可求的值的范围。（9） 不等式法利用基本不等式：求函数的值域（或最值），用不等式法
8、求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”。（10） 求导法设的导数为，由可求得极值点的坐标，若函数定义域为则最值必定为极值点和区间端点中的函数值的最大值和最小值。二、例题分析1、求函数的值域。解法一：（配方法），而， ， ， 值域为解法二：（判别式法） 由原式得时，； 时，又 必须 函数的值域为2、求函数的值域。解法一：（单调性法）函数的定义域为，函数，均在上递增，故。解法二：（换元法）令，则，且，。3、求函数的值域。解法一、（分类类讨论法）当时，；当时，由知 当时，则， 综上所述：函数的值域为。解法二、（换元法），故可设，于是，由知， 。4、求函数的值域。解：（换元法）略。
9、6、 求函数的值域。解法一、（直接法）， 值域为解法二：（反函数法）略7、求下列函数的值域（1）； （2） ；解：（1）（不等式法）， 又， （2）（单调性法），令，故不能使用重要不等式，但是在时为增函数，注意：函数，当时，在减； 当时，在增。7、 求函数的值域。1-12yxPQTO解法一：（数形结合法）可看作单位圆外一点与圆上的点的连线段的斜率的2倍，由下图知，设过点P的直线方程为，即，令，解得，即 ，函数的值域为。解法二：（有界性法）， 平方整理得：， 。三、课后练习：1、求与列函数的值域： 2、求值域： 3、求值域：4、求值域： 5、 6、求的值域。7、已知，求函数的值域。解：，的定义域
10、为 得 ，即定义域为。又 8、 已知的值域为，试求的值域。9、 求值域10、 的值域是_.11、 的值域为_.12、 设，求函数的最值。13、 的值域为_14、 已知，求的最值。15、 已知，求函数的最值。16、 求函数的值域。17、 求函数的值域。18、 求下列函数的值域：（1） ；（2） 19、已知实数满足，求的取值范围。20、若函数的值域为-1，5，求实数。解：原函数化为当时， ， 当时， ， ， -1、5是方程的两根，21、已知函数对定义域内的任意值都有，求的取值范围。 五、函数的单调性一、定义：设函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说
11、在这个区间上是增函数；当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数，这个区间称为函数的单调区间，函数在这个区间上具有单调性。二、单调函数的等价定义：设，那么（1）函数在上是增函数。（2）函数在上是减函数。三、从图象上看，单调增函数图象从左向右逐渐上升，减函数的图象从左到右逐渐下降。四、单调性的和差：增增则增；减减则减。五、奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性。六、复合函数：若是的函数，又是的函数，即，那么关于的函数，叫做和的复合函数，叫做中间变量，的取值范围是的值域。 复合函数的单调性可概括为：内外的单调性相同
12、时，复合函数为增函数； 内外的单调性相反时，复合函数为减函数。注：若在区间上分别为增函数，但在上不一定是增函数。七、函数单调性的判断方法：（1）定义法：即“取值作差变形定号判断”。（2）利用已知函数的单调性，将函数转化为已知函数的单调性进行判断。（3）利用函数的图像：此法只适用图像较简单的函数，且只能作为一种辅助手段用。（4）利用函数的性质： 若都为增（减）函数，则在其公共定义域内为增（减）函数。 若为增函数，为减函数，则在其公共定义域内为增函数。若为减函数，为增函数，则在其公共定义域内为减函数。八、函数单调性的证明只能用定义法和求导法。九、例题讲解1、已知函数，若在上为单调函数，求的取值范围
13、。解：设则 ， ， 当时，即当时，在上为单调递减函数；当时，的符号不确定，故时，不具备单调性。2、证明：在上是增函数，在上是减函数。3、求函数的单调区间。解：据题意知，函数的定义域为，又函数是奇函数，只考虑时的情况。设，则从这里看出应将分成两个区间和分别讨论。当时， ， ， ，即， 在上为减函数。当时， ， ，即， 在上为增函数。 的递增区间为和，递减区间为和。4、证明函数在R上是减函数。5、若函数是定义在上的增函数，且，求的取值范围。6、函数在定义域上是增函数，且对任意都有，又，解不等式。7、定义在R上的函数，当时，且对任意的，都有。（1）证明：； （2）证明：对任意，恒有；（3）证明：是R上的增函数； （4）若，求的取值范围。8、求函数的单调区间。9、求下列函数的单调区间（1） （2） （3） 10、已知函数的定义域为R，且对
