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1、2020-2021备战中考数学二轮 平行四边形 专项培优含详细答案一、平行四边形1问题发现：（）如图，点为平行四边形内一点，请过点画一条直线，使其同时平分平行四边形的面积和周长问题探究：（）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴正半轴上，点 坐标为已知点为矩形外一点，请过点画一条同时平分矩形面积和周长的直线，说明理由并求出直线，说明理由并求出直线被矩形截得线段的长度问题解决：（）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴正半轴上，轴，轴，且，点为五边形内一点请问：是否存在过点的直线，分别与边与交于点、，且同时平分五边形的面积和周长?若存在，请求出点和点的坐标：若不存在，请说明理
2、由 【答案】（1）作图见解析；（2），；（3），【解析】试题分析：（1）连接AC、BD交于点O，作直线PO，直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分（2）连接AC，BD交于点，过、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分（3）存在，直线平分五边形面积、周长试题解析：（）作图如下：（），设，交轴于，交于，（）存在，直线平分五边形面积、周长在直线上，连交、于点、，设，直线，联立，得，2如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发以每秒1个单位的速度运动其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC
3、向终点C运动过点M作MPOA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，NPC是一个等腰三角形？简要说明理由【答案】（1）P点坐标为（x，3x）（2）S的最大值为，此时x=2（3）x=，或x=，或x=【解析】试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，可通过PMOC得出的对应成比例线段来求；也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=ABPQ来求出
4、PM的长得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标（2）可按（1）中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BCBN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式（3）本题要分类讨论：当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CNCQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出x的值试题解析：（1）过
5、点P作PQBC于点Q，有题意可得：PQAB，CQPCBA，解得：QP=x，PM=3x，由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4x，3），P点坐标为（x，3x）（2）设NPC的面积为S，在NPC中，NC=4x，NC边上的高为，其中，0x4S=（4x）x=（x2+4x）=（x2）2+S的最大值为，此时x=2（3）延长MP交CB于Q，则有PQBC若NP=CP，PQBC，NQ=CQ=x3x=4，x=若CP=CN，则CN=4x，PQ=x，CP=x，4x=x，x=；若CN=NP，则CN=4xPQ=x，NQ=42x，在RtPNQ中，PN2=NQ2+PQ2，（4x）2=（42x）2+（x）2，x=综上所
6、述，x=，或x=，或x=考点：二次函数综合题3如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.详解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC
7、，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中， BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 4已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）
8、求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案试题解析：（1）在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；（2）当DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：DOEBOF，OE=OF，又O
9、B=OD，四边形EBFD是平行四边形，EOD=90，EFBD，四边形BFDE为菱形考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定5如图，在RtABC中，B=90，AC=60cm，A=60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由【答
10、案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=或12.【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）DEF为直角三角形，分EDF=90和DEF=90两种情况讨论.【详解】解：（1）证明：在RtABC中，C=90A=30，AB=AC=60=30cm，CD=4t，AE=2t，又在RtCDF中，C=30，DF=CD=2t，DF=AE；（2）能，DFAB，DF=AE，四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD
11、是菱形，即604t=2t，解得：t=10，当t=10时，AEFD是菱形；（3）若DEF为直角三角形，有两种情况：如图1，EDF=90，DEBC，则AD=2AE，即604t=22t，解得：t=，如图2，DEF=90，DEAC，则AE=2AD，即，解得：t=12，综上所述，当t=或12时，DEF为直角三角形.6已知RtABD中，边AB=OB=1，ABO=90问题探究：（1）以AB为边，在RtABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为 （2）以AB为边，在RtABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在
12、射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由【答案】(1)、；(2)、；(3)、.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在RtODC中，根据OD=计算即可(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OC在RtOCE中，根据OC=计算即可(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM分别求出MH、OM、FH即可解决问题【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=1，C=
13、90 在RtODC中，C=90，OC=2，CD=1，OD=(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OCFBE=E=CFB=90， 四边形BECF是矩形， BF=CF=，CF=BE=，在RtOCE中，OC=(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DMFD=FE=DE=1，OFDE， DH=HE，OD=OE，DOH=DOE=22.5， OM=DM，MOD=MDO=22.5， DMH=MDH=45， DH=HM=， DM=OM=，FH=， OF=OM+MH+FH=OF的最大值为考点：四边形综合题7如图，在菱形ABCD中，AB=
14、4，BAD=120，AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上（1）证明：BE=CF（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值（3）在（2）的情况下，请探究CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值【答案】(1)见解析；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得4=60，AC=AB进而求证ABEACF，即可求得BE=CF；（2）根据ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短
