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1、第4讲 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1若直线m平面,则条件甲:“直线l”是条件乙:“lm”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D2若直线a直线b,且a平面,则b与的位置关系是()A一定平行 B不平行C平行或相交 D平行或在平面内解析 直线在平面内的情况不能遗漏,所以正确选项为D.答案D3一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面的距离相等,那么直线l与平面的位置关系是 ()Al BlCl与相交但不垂直 Dl或l解析l时,直线l上任意点到的距离都相等;l时,直线l上所有的点到的距离都是0;l时,直线l上有两个点到距离相等;l与斜交时,也只能有两个
2、点到距离相等答案D4设m,n是平面内的两条不同直线;l1,l2是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是 ()Am且l1 Bml1且nl2Cm且n Dm且nl2解析对于选项A,不合题意;对于选项B,由于l1与l2是相交直线,而且由l1m可得l1,同理可得l2故可得,充分性成立,而由不一定能得到l1m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B;对于选项C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项D,由nl2可转化为n,同选项C,故不符合题意,综上选B.答案B5已知1,2,3是三个相互平行的平面,平面1,2之间的距离为d1,平面2,3之间的距离为d2.直线l与1,2,3分别相交于P
3、1,P2,P3.那么“P1P2P2P3”是“d1d2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析如图所示,由于23,同时被第三个平面P1P3N所截,故有P2MP3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.答案C6下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形的序号是()A B C D解析对于图形:平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB平面MNP,对于图形:ABPN,即可得到AB平面MNP,图形、都不可以,故选C.答案C二、填空题7过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面
4、ABB1A1平行的直线共有_条解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条答案68、是三个平面,a、b是两条直线,有下列三个条件:a,b;a,b;b,a.如果命题“a,b,且_,则ab”为真命题,则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的题号填上)解析中,a,a,b,bab(线面平行的性质)中,b,b,a,aab(线面平行的性质)答案9若m、n为两条不重合的直线,、为两个不重合的平面,则下列命题中真命题的序号是_若m、n
5、都平行于平面,则m、n一定不是相交直线;若m、n都垂直于平面,则m、n一定是平行直线;已知、互相平行,m、n互相平行,若m,则n;若m、n在平面内的射影互相平行,则m、n互相平行解析为假命题,为真命题,在中,n可以平行于,也可以在内,故是假命题,在中,m、n也可能异面,故为假命题答案10对于平面与平面,有下列条件:、都垂直于平面;、都平行于平面;内不共线的三点到的距离相等;l,m为两条平行直线,且l,m;l,m是异面直线,且l,m;l,m,则可判定平面与平面平行的条件是_(填正确结论的序号)解析由面面平行的判定定理及性质定理知,只有能判定.答案三、解答题11 如图,在四面体ABCD中,F、E、
6、H分别是棱AB、BD、AC的中点,G为DE的中点证明:直线HG平面CEF.证明法一如图,连接BH,BH与CF交于K,连接EK.F、H分别是AB、AC的中点,K是ABC的重心,.又据题设条件知,EKGH.EK平面CEF,GH平面CEF,直线HG平面CEF.法二如图,取CD的中点N,连接GN、HN.G为DE的中点,GNCE.CE平面CEF,GN平面CEF,GN平面CEF.连接FH,ENF、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点,FH綉BC,EN綉BC,FH綉EN,四边形FHNE为平行四边形,HNEF.EF平面CEF,HN平面CEF,HN平面CEF.HNGNN,平面GHN平面CEF.GH平面GHN,直
7、线HG平面CEF.12 如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AEFC1B1G1,H是B1C1的中点(1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)求证:平面A1GH平面BED1F.证明(1)AEB1G1,BGA1E2,BG綉A1E,A1G綉BE.又同理,C1F綉B1G,四边形C1FGB1是平行四边形,FG綉C1B1綉D1A1,四边形A1GFD1是平行四边形A1G綉D1F,D1F綉EB,故E、B、F、D1四点共面(2)H是B1C1的中点,B1H.又B1G1,.又,且FCBGB1H90,B1HGCBF,B1GHCFBFBG,HGFB.又
8、由(1)知A1GBE,且HGA1GG,FBBEB,平面A1GH平面BED1F.13一个多面体的直观图及三视图如图所示:(其中M、N分别是AF、BC的中点)(1)求证:MN平面CDEF;(2)求多面体ACDEF的体积解由三视图可知:ABBCBF2,DECF2,CBF.(1)证明:取BF的中点G,连接MG、NG,由M、N分别为AF、BC的中点可得,NGCF,MGEF,平面MNG平面CDEF,又MN平面MNG,MN平面CDEF.(2)取DE的中点H.ADAE,AHDE,在直三棱柱ADEBCF中,平面ADE平面CDEF,平面ADE平面CDEFDE.AH平面CDEF.多面体ACDEF是以AH为高,以矩形
9、CDEF为底面的棱锥,在ADE中,AH.S矩形CDEFDEEF4,棱锥ACDEF的体积为VS矩形CDEFAH4.14如图所示,四边形ABCD为矩形,AD平面ABE,AEEBBC,F为CE上的点,且BF平面ACE.(1)求证:AEBE;(2)设M在线段AB上,且满足AM2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN平面DAE.(1)证明AD平面ABE,ADBC,BC平面ABE,又AE平面ABE,则AEBC.又BF平面ACE,AE平面ABE,AEBF,又BCBFB,AE平面BCE,又BE平面BCE,AEBE.(2)解在ABE中过M点作MGAE交BE于G点,在BEC中过G点作GNBC交EC于N点,连接MN,则由比例关系易得CNCE.MGAE,MG平面ADE,AE平面ADE,MG平面ADE.同理,GN平面ADE.又GNMGG,平面MGN平面ADE.又MN平面MGN,MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.