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1、 2.2.2 椭圆性质及其应用1一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为()A.1B.1C.1 D.12椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A8,2 B5,4 C9,1 D5,13已知F1、F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆离心率e，则椭圆的方程是() A.1 B.1C.1 D.14若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.5已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_6若一个椭圆长轴的长度
2、、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_7已知椭圆1(ab0)的离心率e.过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程8.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率9设P(x，y)是椭圆1上的点且P的纵坐标y0，点A(5,0)、B(5,0)，试判断kPAkPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由1点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是() AaBaC2a2 D1ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是该椭圆
3、上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值8设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程9(10分)如图，椭圆C1：1(ab0)的离心率为，x轴被曲线C2：yx2b截得的线段长等于C1的长半轴长(1)求C1，C2的方程(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.证明：MDME.1点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()AaBaC2a2 D1a1解析：由
4、点A在椭圆内部得1a.故选A.答案：A2直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相切 B相交C相离 D不确定解析：直线ykxk1恒过定点(1,1)又b0)由得(a23b2)y28b2y16b2a2b20，由题意得(8b2)24(a23b2)(16b2a2b2)0且a2b24，可得a27，2a2.答案：C4过椭圆1的右焦点且倾斜角为45的弦AB的长为()A5 B6C. D7解析：椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k1，直线AB的方程为yx4，由得9x225(x4)2225，由弦长公式易求|AB|.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B
5、两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，lAB：y2x2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x25x0，x0或x，A(0，2)，B，SAOB|OF|(|yB|yA|)1.答案：6若倾斜角为的直线交椭圆y21于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是_解析：设中点坐标为(x，y)，直线方程为yxb，代入椭圆方程得5x28bx4(b21)0，则得x4y0.由0得b，故xb0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值解析：(1)y21.(2)设P
6、(x，y)，由(1)知F1(，0)，F2(，0)，则(x，y)(x，y)x2y23x2(1)3x22，x2,2，当x0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.8设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解析：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，直线l的方程为y(x2)联立，得(3a2b2)y2
7、4b2y3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2.即2，得a3.而a2b24，所以b.故椭圆C的方程为1.尖子生题库9(10分)如图，椭圆C1：1(ab0)的离心率为，x轴被曲线C2：yx2b截得的线段长等于C1的长半轴长(1)求C1，C2的方程(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.证明：MDME.解析：由题意知e，从而a2b.又2a，所以a2，b1.故C1，C2的方程分别为y21，yx21.(2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx.由得x2kx10.设A(x1，y1)，B(x2，y
8、2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1x2k，x1x21.又点M的坐标为(0，1)，所以kMAkMB1.故MAMB，即MDME.1一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：由椭圆中ab，ac3，且一个顶点坐标为(0,2)知b2，b24，且椭圆焦点在x轴上，a2b2c213.故所求椭圆的标准方程为1.故选D.答案：D2椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A8,2 B5,4C9,1 D5,1解析：因为a5，c4，所以最大距离为ac9，最小距离为ac1.答案：C3已知F1、F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，过F2作椭
9、圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆离心率e，则椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意知4a16，即a4，又e，c2，b2a2c216124，椭圆的标准方程为1.答案：B4若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：依题意，BF1F2是正三角形，在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，acos 60c，即椭圆的离心率e，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析：依题意设椭圆的方
10、程为1(ab0)，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，2a12，即a6.椭圆的离心率为，b29，椭圆G的方程为1.答案：16若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_解析：设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c，由题意可得2a2c4b，ac2b，又b，所以ac2，整理得5e22e30，e或e1(舍去)答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7已知椭圆1(ab0)的离心率e.过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程解析：e，a23b2，即ab.过A(0，b)，B(a,0)的直线为1.把ab代入，即xyb0，又由点到直线的距离公式得，解得b1，a，所求方程为y21.8.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率解析：方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)M点的坐标为，则MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2|b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所
