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1、一元二次方程本章主要内容：1.一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的根。2.解一元二次方程。（数学思想是降次）方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。3.一元二次方程的应用：利用一元二次方程解答实际应用问题和数学综合问题等。本章重难点：1.重点：一元二次方程的概念、化一元二次方程为一般形式、解一元二次方程。2.难点：用一元二次方程来解决实际问题；韦达定理、判别式的应用学习目标：1 了解一元二次方程的有关概念。2 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。3 会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。4 掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会
2、运用它解决有关问题。5 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。学法指导：1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型。2通过观察、归纳、类比、计算与交流活动中，掌握一元二次方程的基本解法。3通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.4经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义
3、，并根据具体问题检验解的合理性。应知：一、基本概念一元二次方程：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a0）。一元二次方程的根：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根【注意】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的解，还要检验这些根是否符合题意，符合题意的才真正是实际问题的解二、基本法则1. 解一元二次方程的方法。（解一元二次方程总的思想是将次，即化二次为一次。具体方法有：直接开平方法；因式分解法；配方法和求根公式法。）（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解
4、的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，当时，当b0时，方程没有实数根。注： 解为： 解为： 解为： 解为：（2） 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。常用：提公因式法，完全平方公式法，平方差公式法，十字相乘法。特别是：十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。（3）、配方法：配方法是将一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a0）变形为的形式，然后求解的方法。其理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。配方法是一种重要的数学方法，它不
5、仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。注：二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。（4）公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：注：一元二次方程，用配方法将其变形为： 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根： 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： 当时，右端是负数因此，方程没有实根。注意：
6、虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。2. 解一元二次方程的步骤。因式分解法解一元二次方程的步骤：右化零，左分解，两因式，各求解。【注意】使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式，否则，将会失去一个根。用配方法解一元二次方程的步骤：一化，二移，三配，四解。【注意】用配方法解一元二次方程，当二次项系数不为一时，一定要化为一，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方。用求根公式解一元二次方程的步骤：一化，二定，三算，四代，五写解。一元二次方程的解题步骤：首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：如：（
7、同除于10）这样更加方便计算。（同乘于，这样二次项的系数为正整数，更方便计算） 四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。3.根的判别式：b24ac分三种情况：（1）大于零时，方程有两个不相等的实数根；（2）等于零时，方程有两个相等的实数根；（3）小于零时，方程没有实数根。以上三条，反之亦然。4.根与系数的关系（又名韦达定理）： 定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么：。法1：一元二次方程的两个根为：所以：，法2：如果一元二
8、次方程定的两个根为；那么 两边同时除于，展开后可得： ；法3：如果一元二次方程定的两个根为；那么 得：（余下略）常用变形：， ， ， ， 等韦达定理相关知识（1）若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。（2）如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。（3）以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是（4）在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。（5）二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程的两个根，那么如果方程无根,则此二次三项
9、式不能分解。5.实践与探索（应用一元二次方程解决实际问题）：（1）列一元二次方程解应用题的一般步骤：可概括为审、找、设、列、解、验、答。（2）相关主要问题：增长率问题（基本公式）；面积问题（平移思想）；储蓄问题（基本公式）；销售利润问题（基本公式）；最值问题（二次三项式的配方），几何动态问题（方程思想；动中求静）；图表信息问题；探索性问题。（3）.常用术语含意：翻一番：即为原净收入的2倍； 平均年增长率：指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的。 基本公式： 其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数， 表示增长后的数量。 三、常用数学思想方法：定义法解题、因式分解法、配方法、整体思想、换元法、分类讨论思想、方程思想、转化思想、数学建模思想。四、专题强化训练：1、一元二次方程的概念的运用；2、一元二次方程的解的运用；3、解一元二次方程；4、一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的运用；5、利用一元二次方程解实际应用问题。
