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1、第二章 有理数 单元复习教学过程:(一)本章知识结构 (二)有理数的有关概念 1. 有理数:主要掌握有理数的分类方法,它有两种分类方法:一种是按整数和分数分类,另一种是按性质分类。这两种的分类标准不同,所以结果也不同。但无论依据什么标准分类,分类的时候都应做到不漏不重,有时为了研究需要,整数也可以看作是分母为1的分数,从这种意义上讲,有理数就是分数。 有理数的分类: 2. 数轴:原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可。有理数可以用数轴上的点表示,但数轴上的点并不都表示有理数。利用数轴可以比较有理数的大小,在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大。 3. 相反数: 只有符号不
2、同的两个数是互为相反数,除零以外,相反数总是一正一负,成对出现的。在数轴上看,表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧,而且到原点的距离相等。 (1)通常用a与表示一对相反数。 (2)若a与b互为相反数,则。 (3)互为相反数的两个数的绝对值相等,即。 (4)若,则,或(a与b互为相反数)。 4. 绝对值: 由绝对值的几何意义可知:一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离。因为距离总是正数或零,所以有理数的绝对值不可能是负数,即。 从绝对值的定义可知:一个正数的绝对值是它的本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数。 (1
3、)若,则; (2)若,则; (3),绝对值的非负性。 5. 倒数与相反数: 倒数与相反数都是成对出现的,单独一个数不能称是倒数或相反数,互为倒数的两个数符号相同,互为相反数的符号相反,0没有倒数,但是它有相反数。 (1)通常用与表示一对倒数。 (2)倒数等于它本身的数是1和。 (3)零没有倒数。 6. 近似数和有效数字: 在实际运算中,经常遇到近似数,注意按要求的精确度或有效数字进行计算。对于较大的数用科学记数法表示,既方便又能体现有效数字的优点。(三)有理数的大小的比较 方法1:正数都大于零,负数都小于零,正数大于一切负数;两个正数,绝对值大的数大;两个负数,绝对值大的反而小。 方法2:在数
4、轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 方法3:在有理数的大小比较法中,有的不能直接比较两个数的大小,可采取相减法、相除法以及寻找第三等量等方法。(四)有理数的运算 1. 有理数加减法: 有理数的运算的实质是确定符号和绝对值的问题,进行加减运算时,应先确定结果的符号,再确定结果的绝对值,有理数的减法是加法的逆运算,也就是先转化成加法再进行计算。 2. 有理数的乘除法、乘方: 两个不为零的有理数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,若其中一个数为零,则积为零。 在有多项运算时,要先化简再进行计算,有理数乘方时要注意底数是负时要先确定好幂的符号,再进行运算。 3. 有理数的混合运算: 本章
5、重点是有理数的混合运算,难点是提高运算的速度、准确率,关键是正确地运用各种法则,同时掌握运算顺序,并能适当地利用运算定律简化运算。 (1)有理数混合运算顺序: 先算乘方,再算乘除,最后算加减; 同级运算,按照从左至右的顺序进行; 如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的。 (2)运算律: 加法交换律: 加法结合律: 乘法交换律: 乘法结合律: 分配律:典型例题 例1. 计算: 分析:本题如果按照从左到右的顺序运算是很费时费力的,如果我们能够根据有理数加法运算律进行计算,就方便多了。运用运算律,先要找出各个加数之间的内在规律,灵活运用,最后归结为求异号两数和。 解:原式 例2. 有理数a、b
6、在数轴上的位置如图所示: 试比较的大小,并用“”号把它们连接起来。 分析:由相反数和绝对值的定义,可在数轴上把表示出来,利用数轴就可以比较它们的大小了。 解: 由数轴可知: 例3. 已知a、b互为相反数,m、n互为倒数,x的绝对值是2,求代数式的值。 分析:因为a、b互为相反数,所以 又因为m、n互为倒数,所以 把代入原式,可求出原式的值。 解:a、b互为相反数, m、n互为倒数, 例4. 计算: 分析:按运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减。此题要先算出分子与分母的值,对于分母应先算绝对值符号里面的运算。 解:原式 例5. 将按从小到大的顺序排列起来。 分析:比较这三个负数的大小,应先比
7、较它们绝对值的大小。观察可知、三个分数的分子均比分母小1,可先比较它们的倒数的大小。 解: 例6. 已知a、b、c均为整数,且,求的值。 分析:a、b、c均为整数 与都是整数 与都是非负整数 又 有两种可能: (1)若,则 (2)若,则 因此,此题应分两种情况讨论。 解:根据题意,知: (1)若,则 ,即,且 (2)若,则 ,且 例7. 小强在电脑中设置了一个有理数运算程序:输入数a,加“”键,再输入数b,得到运算 (1)求的值; (2)小华运用这个程序时,屏幕显示:“该操作无法进行”,你猜小华输入数据时,可能出现什么情况?为什么? 分析:本题第(1)小题是一种新定义运算,应根据进行运算;第(
8、2)问应分类进行讨论。 解:(1) (2)有两种可能:第一种可能是输入了,因为0没有倒数,所以电脑无法操作;第二种可能是输入的a、b两数值相等,因为,0不能作除数,所以电脑也无法操作。 例8. (1)新疆是我国面积最大的省区,其总面积约占我国国土面积的,我国国土面积约960万平方千米,用科学记数法表示新疆的面积为_平方千米。 (2)地球离太阳约有一亿五千万千米,光的速度大约是300000000米/秒,求太阳光到达地面需要多长时间? 分析:(1)计算960万,并将乘积转化为科学记数法的形式;(2)先将一亿五千万千米用具体的数表示,然后利用公式:,就可求出太阳光到达地面所需要的时间。 解:(1)(
9、平方千米) (2)一亿五千万千米等于150000000千米,等于150000000000米。 光到达地面的时间为:(秒),即500(秒) 太阳光到达地面需500秒 例9. 近似数0.5600的有效数字的个数和精确度分别是( ) A. 两个,精确到万分位 B. 四个,精确到十万分位 C. 四个,精确到万分位 D. 四个,精确到千分位 分析:因为近似数0.5600从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位上,所有的数字包括5,6,0,0共四个数字,所以0.5600的有效数字的个数是4,精确到万分位。 解:选择C 例10. 比较下面四个算式结果的大小(在横线上选填“”、“”或“”) 通过观察归纳,写
10、出反映这种规律的一般结论_。 解: 通过以上观察和计算可得出结论: 如果a、b是两个有理数,则有。单元试题一. 填空题。 1. 计算: 2. 中底数是_,指数是_,运算结果是_。 3. 在数轴上到表示2的点的距离为4的点的数是_。 4. 非负整数与正整数的区别是非负整数包括_,而正整数不包括_。 5. 计算_。 6. 下表是我国四个城市某一月份的平均气温,把它们按从高到低的顺序排列:_。北京长沙哈尔滨南京3.82.4 7. 一个数的相反数是它本身,这个数是_;一个数的倒数是它本身,这个数是_。 8. 的倒数与的倒数的和的相反数是_。 9. 如果,则_。 10. 从1999年11月1日起,全国储
11、蓄存款需征收利息税,利息税的税率是20%(即储蓄利息的20%,由各银行储蓄点代扣代收),张老师于1999年5月1日在银行存入人民币2万元,定期一年,年利息为3.78%,存款到期时,张老师净得本金和利息共计_元。二. 选择题。 11. 下列说法正确的是( ) A. 零除任何数得零 B. 绝对值相等的两个数相等 C. 几个有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定 D. 两个数互为倒数,则它们的相同次幂仍为倒数 12. 下列说法正确的是( ) A. 绝对值等于它本身的有理数只有0 B. 倒数等于它本身的有理数只有1 C. 平方等于本身的有理数为0和1 D. 相反数等于它本身的有理数只有0 13. 对于
12、近似数0.1830,下列说法正确的是( ) A. 有两个有效数字,精确到千位 B. 有三个有效数字,精确到千分位 C. 有四个有效数字,精确到万分位 D. 有五个有效数字,精确到万分位 14. 北京市申办2008年奥运会,得到了全国人民的热情支持。据统计,某一日北京申奥网站的访问人次为201947,用四舍五入法保留两个有效数字的近似值是( ) A. B. C. D. 15. 计算的结果是( ) A. B. C. D. 16. 下列各组运算中,运算后结果相等的是( ) A. 和B. 和 C. 和D. 和 17. 近似数1.20所表示的准确数a的范围是( ) A. B. C. D. 18. 下列叙述中:正数与它的绝对值互为相反数;非负数与它的绝对值的差为0;的立方与它的平方互为相反数;1的倒数与它的平方相等。其中正确的个数有( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 19. 我国股市交易中每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用。某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股,当该股票涨到12元时全部卖出,该投资者实际盈利为( ) A. 2000元B. 1925元C. 1835元D. 1910元 20. 若,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 三. 解答题。 21. 计算下列各题。 (1) (2) (3) (