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1、第五章 四边形第二十讲 多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、 多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等、 也相等的多边形叫做正多边形 2、多边形的内外角和： n(n3)的内角和是 外角和是 正n边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 。3、多边形的对角线： 多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有 条对角线，将多边形分成 个三角形，一个n边形共有 条对边线【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形 2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有 条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称图形】二、平面图形的
2、密铺： 1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 、 地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的 。2、密铺的方法：用同一种正多边形密铺，可以用 、 或 用两种正多边形密铺，组合方式有： 和 、 和 、 和 等几种【名师提醒：能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 并使相等的边互相平合】三、平行四边形1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可表示为 2、平行四边形的特质：平行四边形的两组对边分别 平行四边形的两组对角分别 平行四边形的对角线 【名师提醒：1、平行四边形是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任
3、一直线被一组对边截得的线段 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】 3、平行四边形的判定： 用定义判定两组对边分别 的四边形是平行四边形一组对边 的四边形是平行四边形两组对角分别 的四边形是平行四边形对角线 的四边形是平行四边形【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形】4、平行四边形的面积：计算公式 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积 【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段 两平行线之间的距离处处 】【重点考点例析】 考点一：多边形内角和、外角和公式例1 （2013梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边
4、形的边数是（）A3B4C5D6思路分析：由于任何一个多边形的外角和为360，由题意知此多边形的内角和小于360又根据多边形的内角和定理可知任何一个多边形的内角和必定是180的整数倍，则此多边形的内角和等于180由此可以得出这个多边形的边数解：设边数为n，根据题意得（n-2）180360解之得n4n为正整数，且n3，n=3故选A点评：本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解对应训练1（2013长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A四边形B五边形C六边形D
5、八边形1A考点二：平面图形的密铺例2 （2013漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（）A正方形B正十边形C正六边形D等边三角形思路分析：根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案解：用一种正多边形镶嵌，只有正方形，正六边形，等边三角形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案不能铺满地面的是正十边形；故选B点评：此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形对应训练2（2013呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）A正十
6、边形B正八边形C正六边形D正五边形2C考点三：平行四边形的性质例3 （2013益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A1=2BBAD=BCDCAB=CDDACBD思路分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可解：在平行四边形ABCD中，ABCD，1=2，故此选项正确，不合题意；四边形ABCD是平行四边形，BAD=BCD，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；无法得出ACBD，故此选项错误，符合题意故选D点评：此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键例4 （2013泸州）如图，已知ABCD中，F是BC边的中点，连
7、接DF并延长，交AB的延长线于点E求证：AB=BE思路分析：根据平行四边形性质得出AB=DC，ABCD，推出C=FBE，CDF=E，证CDFBEF，推出BE=DC即可证明：F是BC边的中点，BF=CF，四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，ABCD，C=FBE，CDF=E，在CDF和BEF中，CDFBEF（AAS），BE=DC，AB=DC，AB=BE点评：本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出CDFBEF对应训练3（2013黔西南州）已知ABCD中，A+C=200，则B的度数是（）A100B160C80D603C4（2013长春）在ABC中，AB=A
8、C，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形求证：AD=BF4证明：四边形ADEF为平行四边形，AD=EF，ADEF，ACB=FEB，AB=AC，ACB=B，FEB=B，EF=BF，AD=BF考点四：平行四边形的判定例5 （2013荆门）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：ADBC；AD=BC；OA=OC；OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A3种B4种C5种D6种思路分析：根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可解：组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形AB
9、CD为平行四边形；组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；可证明ADOCBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；可证明ADOCBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；故选：B点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理对应训练5（2013泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）AABDC，ADBCBAB=DC，AD=BCCAO=CO，BO=DOD
10、ABDC，AD=BC 5D【聚焦山东中考】1（2013烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720，那么原多边形的边数为（）A5B5或6C5或7D5或6或71D2（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DGAE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A2 B4 C4D82B3（2013莱芜）正十二边形每个内角的度数为 15031504（2013菏泽）如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AEB=45，BD=2，将ABC沿AC所在直线翻折180到其原来所在的同一平面内，若点B的
11、落点记为B，则DB的长为 45（2013莱芜）如图，在RtABC中，C=90，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE（1）证明DECB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形5（1）证明：如图，连结CE点E为RtACB的斜边AB的中点，CE=AB=AEACD是等边三角形，AD=CD在ADE与CDE中，ADECDE（SSS），ADE=CDE=30DCB=150，EDC+DCB=180DECB（2）解：DCB=150，若四边形DCBE是平行四边形，则DCBE，DCB+B=180B=30在RtACB中，sinB=，sin30=，AC=AB或AB=
12、2AC当AC=AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形6（2013日照）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC（1）求证：BADAEC；（2）若B=30，ADC=45，BD=10，求平行四边形ABDE的面积6解：（1）证明：AB=AC，B=ACB又四边形ABDE是平行四边形AEBD，AE=BD，ACB=CAE=B，在DBA和AEC中，DBAAEC（SAS）；（2）解：如图，过A作AGBC，垂足为G设AG=x，在RtAGD中，ADC=45，AG=DG=x，在RtAGB中，B=30，BG=x，又BD=10BG-DG=BD，即x-x=10，解得AG=x=5+5，S平行四边形ABDE=BDAG=10（5+5）=50+50【备考真题过关】一、选择题1（2013资阳）一个正多边形的每个外角都等于36，那么它是（）A正六边形B正八边形C正十边形D正十1C2（2013湛江）已知一个多边形的内角和是540，则这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形2B3（2013六盘水）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（）A
