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1、数形结合思想在高中解析几何中的应用广南一中第一中学（冯桂花）解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是由法国著名数学家笛卡尔和费马共同创立的。由于解析几何中蕴涵有丰富的数学思想方法，对研究数学及其他自然科学时有很重要的作用。国内同行对解析几何中数学思想方法的教学研究较多，但这些研究大多只在理论上阐述了在解析几何中数学思想方法的重要性和必要性等问题，或者指出解析几何中蕴含的几种数学思想方法。缺少在教学中加强对学生数学思想方法的培养，没有很好地体现新课程标准的要求；其次缺少对蕴含在解析几何课程中的核心思想方法的研究。本文拟通过案例分析法、文献分析法、理论分析法对这一这一部分内容教学提供有力依据。
2、1 数形结合思想在高中新教材解析几何部分的重要地位1.1 数形结合的思想方法是贯穿于解析几何部分全部知识的核心数学思想方法解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，最根本的做法就是设法把平面的几何结构有系统的代数化、数量化。即在平面中建立了坐标系，把平面内的点与有序数组建立起一一对应的关系，因而平面内的一条曲线可以由带两个变量的一个方程表示，也即实现了曲线的“代数化”。这样，几何问题就可以用代数形式表示，在求解析几何问题时，就可以运用代数方法进行研究。其过程可表示为：几何问题 而数形结合的基本思想是：在研究问题的过程中，注意把数形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关
3、系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化、形象化，抽象问题具体化，直观问题深刻化，从而使问题得到正确有效的解决。因此，数形结合的思想方法是解析几何的一个核心思想方法，是统领解析几何知识结构的一根主要红线。我国著名数学家华罗庚先生曾对数形结合思想做过深刻而彻底的阐述：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。并风趣地教导人们，千万不要“得意忘形”。实际上，解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系，几何的概念得以用代数方法表示，几何目标得以用代数方法达到，反之，代数语言可得到几何解释而变得直观、易懂。因此，解析几何是数形结合的典范，数形结合思想方法是贯穿于
4、解析几何全部知识的核心数学思想方法。1.2 课程标准要求教师要加强对学生数学思想方法的培养 在新课程标准中提出了“解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数的方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线与圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。而新课程标准对教师的要求是在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代
5、数的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。课课程标准要求教师要加强对学生数学思想方法的培养，这就要求我们在学习过程中，应当注重对数学思想方法的认识和研究，力求能够熟练地运用数学思想方法去分析问题和解决问题。数学思想方法是一种重要的数学基础知识，在数学学习中，特别是在将来的实际工作中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用得多。另外，高中解析几何以解析几何的基本内容和思想为背景材料，在整个初等数学中占据非常重要的作用和地位。它充分体现了数形结合的数学思想。并且在解决相关问题是还须用到初等数学的许多其它的思想方法，如
6、函数、化归、方程、分类、变换、参数等，所以它具有培养学生综合能力的功效。而在本次高中数学课程改革中，新教材将解析几何部分分成了两块，必修中平面解析几何，选修系列1与选修系列2中的圆锥曲线与方程。新课标中的内容进一步体现数形结合的思想，新教材解析几何部分内容是分层设计的，体现了新课程的基础性与选择性；新教材在内容上要求上更注重知识的发展过程，强调其几何背景；在内容安排上更换好地体现了解析几何的本质，渗透了数形结合的思想，内容处理上符合学生的认知规律，更好地利用信息技术。新教材解析几何部分总课时（共18课时）减少，难度增加。因此，要求教师在教学过程中加强对学生数学思想方法的培养是非常必要的。 2
7、解析几何知识结构中数形结合思想方法的研究工具及呈现方式2.1 数形结合的开始向量代数和平面直角坐标系是数形结合的开始，在这一部份内容中研究数形结合的工具是向量和坐标系。在向量代数中，数形结合主要体现为：向量及其运算实现了几何结构代数化，实现了几何问题与向量问题的相互转化。向量具有数的特征（大小或模），又有形的特点（方向）。其表达式既可以是字母（数），又可以是有向线段（形），特别是对向量最原始的运算“加法”的定义，用的是几何作图法定义，在这一基本概念里，数与形很完美地结合在一起，向量的其他运算都建立在此定义上，因而，向量的运算及其运算律都是数形结合的主要体现。案例2.1.1证明三角形各边的垂直平
8、分线共点且这点到各顶点的距离相等。 证：设ABC的边BC、CA两边上的垂直平分线交于点P，点F为AB中点（如图），下证且PA=PB=PC。取P为始点，并设A、B、C关于P的向径为，那么 因为于是有,即即，同理可证，从而有PA=PB=PC。又因为所以，即；这就证明了三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点的距离相等。 本题应用数形结合思想，借助向量把平面内关于点的几何问题归结为向量问题，从而通过向量的运算来证明纯几何问题。在平面直角坐标系中数形结合具体体现是：在平面建立了平面直角坐标系后，向量对应的有了坐标，这就使得向量的运算转化为其坐标间的数量的运算，从而把几何问题的讨论推广到了可以计算的数量
9、层面。建立了平面直角坐标系后，点对应有了坐标：A点随着A点的变动,随着变动。这样动点与变数对应了起来，从而动点的轨迹与变数的方程之间也就通过坐标系联系起来了。而平面中曲线看成具有某种特征性质的点的轨迹。即在平面直角坐标系下，把曲线上点的特征性质用点的坐标之间的关系式来表达，即就是曲线的方程，这些都是数形结合的主要体现。在平面通过平面直角坐标系的引进，使得平面几何结构数量化、代数化了。从此就可以用代数的方法来研究几何问题了，这既是解析几何的开始，即向量和坐标系的引入。案例:2.1.2已知ABC的顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6) ，直线平行于AB，且分别交AC，BC于点E，F，C
10、EF的面积是CAB面积的1/4。求直线的方程。解：如图，建立直角坐标系，得A(-1，-1)，B(3，1)，C（1，6），因为EFAB，所以直线EF的斜率也为 因为CEF的面积是CAB面积的 ，所以点E是CA的中点，由已知，点E的坐标为（0， ），因此，直线EF的方程为,即 。 教师在讲解本题时，应引导学生从数形结合的方向去考虑，建立坐标，本题是数形结合思想阶梯的“以数解形”模式的应用，即把几何问题转化为代数问题，经过计算和推理，得到相应的代数结论，从而解决几何问题。2.2 在知识的发生过程中渗透数形结合的思想方法，挖掘创造源泉解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形
11、的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在高中新课程标准数学必修2中的第三章（直线与方程）和第四章（圆与方程）中，学生将在平面直角坐标系中建立直线与圆的代数方程，运用代数方法研究直线、直线之间的位置关系，两条直线的交点坐标、点到直线的距离，以及与此相关的一些应用。初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。在本章教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程和圆的方程，把直线问题转化为代数问题，处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想贯穿于本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。主
12、要知识结构为： 从几何直观到代数表示 从代数表示几何直观 （建立直线的方程） （通过方程研究几何性质和度量） 案例2.2.1以“点到直线的距离”这一章为例。在这一章之前，学生已有的相关知识是：两点间距离公式，直线的倾斜角、斜率，直线方程的各种形式，直线间关系判断的依据；并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法思想解决问题的经验与各种具体方法。从课型来看，应该属于“问题教学”。以一个问题为载体，学生在教师的引导与帮助下，分析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法，通过一个数学问题的解决，让学生参与教学过程。在这个过程中，教师尊重学生的思维过程，充分发挥学生在学
13、习中的主动性以及他们之间的合作交流。具体教学情境设计：（1）教师帮助学生回忆曾经学习过的两点距离公式。已知点，则（用点的坐标表示它们之间的距离）把其中一个元素换成直线，提出新的问题，即已知点的坐标直线的方程如何用表示点到直线的距离。（2）数形结合，分析任务，理清思路，画出框图。学生已经有点到直线的距离的概念，即由点画直线l的垂线，垂足是Q ,只要求两点与Q之间的距离，就得到了点到直线的距离。在本节课中，教师要引导学生在知识的发生过程中体会数学中数形结合的思想，挖掘创造源泉，加强学生思想方法的意识。2.3 在问题解决的探索和习题解答中，揭示数形结合思想，培养探究意识和激活数形结合思想方法。中学数
14、学只要是研究“数”与“形”两大部分问题，他们之间相互联系着。所谓数形结合思想方法就是把抽象的数学符号语言和直观的几何图形联系起来，把抽象思维与形象思维相结合，通过“以形助数”、“以数解形”，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而达到解答目的。数形结合应用甚广，不仅在解选择题、填空题中显示它的优越性，而且在解某些抽象数学问题时也起到事半功倍的效果。“以数解形”是解析几何的主线，“以形助数”是数形结合的研究重点。如何“以数转形”是数形结合的关键，图解法是数形结合的具体体现。案例：2.3.1 如果实数满足 ，则的最大值为_;分析：教师应该带领学生从数形结合方面入手，首先，分析等式有明显的几何意义，它
15、表示坐标平面上的一个圆，圆心为（2,0）半径r= ，则在平面直角坐标系，得（如图）而 则表示圆上的点与坐标原点（0,0）的坐标的斜率。如此看来，该问题可转化为如下几个问题：动点A在以（2 ，0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图可见，当A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大=， 。案例2.3.2 求函数的最小值。分析：教师在讲解此题时，应该带领学生观察此函数表达式的几何意义，就可以使问题变得具体、直观。原式改写成由解析几何可知，Z表示X轴上的动点到两定点A（1,2），B（-3，-4）的距离之和即的长，而，且能取到，所以Z的最小值就可以转化为直线AB的长，原来比较抽象复杂的题目，通过转化以及数形结合思想的运用立刻迎刃而解。从以上两个案例，我们看到了，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特性，构造出于与之相应的图形，利用图形的性质和规律，解决“数”的问题，或经图形的部分信息或全部信息转化成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而有效地讲解有
