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1、第3讲函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1判断函数的奇偶性2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能重点解决综合利用函数的性质解决有关问题基础梳理1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2奇、偶函数的性质(1)
2、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件两
3、个性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数(3)若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2
4、a；(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.双基自测1(2011全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()A. B. C. D.解析因为f(x)是周期为2的奇函数，所以fff.故选A.答案A2(2012福州一中月考)f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称解析f(x)的定义域为(，0)(0，)，又f(x)(x)f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称答案C3(2011广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|
5、g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数解析由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A项：偶偶偶；B项：偶偶偶，B错；C项与D项：分别为偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故选A.答案A4(2011福建)对于函数f(x)asin xbxc(其中，a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2解析f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc且cZ，f(1)f(1)2c是偶数，只有D项中两数和为奇数，故不可能是D.答案D5(2011浙江)若函数
6、f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析法一f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.法二由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案0考向一判断函数的奇偶性【例1】下列函数：f(x) ；f(x)x3x；f(x)ln(x)；f(x)；f(x)lg.其中奇函数的个数是()A2 B3 C4 D5审题视点 利用函数奇偶性的定义判断解析f(x)的定义域为1,1，又f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数，也是偶函数；f(x)x3x的定义域为R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，则f(x)x3x是奇函数；由xx|x|0知
7、f(x)ln(x)的定义域为R，又f(x)ln(x)lnln(x)f(x)，则f(x)为奇函数；f(x)的定义域为R，又f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；由0得1x1，f(x)ln的定义域为(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，则f(x)为奇函数答案D 判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f(x)f(x)或f(x)f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断【训练1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)x2|xa|2.解(1)解不等式组得2x0，或0x2，因此函数f(x)的定义域是2,0)
8、(0,2，则f(x).f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是(，)当a0时，f(x)x2|x|2，f(x)x2|x|2x2|x|2f(x)因此f(x)是偶函数；当a0时，f(a)a22，f(a)a2|2a|2，f(a)f(a)，且f(a)f(a)因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数考向二函数奇偶性的应用【例2】已知f(x)x(x0)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)0.审题视点 (1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.(1)解法一f(x)的定义域是(，0)(0，)f(x)x.f(x)f(x)故f(x)是偶函数法二f(
9、x)的定义域是(，0)(0，)，f(1)，f(1)，f(x)不是奇函数f(x)f(x)xxxxx(11)0，f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)证明当x0时，2x1,2x10，所以f(x)x0.当x0时，x0，所以f(x)0，又f(x)是偶函数，f(x)f(x)，所以f(x)0.综上，均有f(x)0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可【训练2】 已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0内递减，求满足：f(1m)f(1m2)0的实数m的取
10、值范围解f(x)的定义域为2,2，有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，在2,2上递减，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.综合可知，1m1.考向三函数的奇偶性与周期性【例3】已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值审题视点 (1)只需证明f(xT)f(x)，即可说明f(x)为周期函数；(2)由f(x)在0,1上的解析式及f(x)图象关于x1对称求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由
11、周期性求和的值(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性
12、常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题【训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为()A1 B1 C0 D无法计算解析由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.答案C规范解答3如何解决奇偶性、单调性、周
13、期性的交汇问题【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】 根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f(x)与f(x)的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f(xT)与f(x)的关系，它们都与f(x)有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.【示例】(本题满分12分)(2011沈阳模拟)设f(x)是(，)上的奇函数，f
