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1、关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中应用对于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（对于“一线三等角”模型详见比例与相像高级教程（六）：相像三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。“一线三垂直”的性质：1，模型中必然存在起码两个三角形相像，三平等角，三对成比率的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必然存在全等三角形。“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：其中，在“变形2”模型下，根据相像原理，推理出了著名的有一对对应边相等的情况。
2、“射影定理”这里主要议论【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=Rt，AC=BC，AECE于点E，BDCE于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长为多少？【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，ACECBD，于是CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm）【例2】如图，在ABC中，CA=CB，点D为BC中点，CEAD于点E，交AB于点F，连结DF。求证：AD=CF+DF.【解析】本题乍一看起来和【例从要证明的结论来看，需要把1】相同，却不能照搬照抄。AD这条线段“转变”到直线CF上。如图，过点B作BGCB，交CF的延伸线于点G。则易证ACDCBG，于是AD=CG
3、=CF+FG；BG=CD=BD，BF=BF，DBF=GBF=45o，故BDFBGF，于是FD=FG，所以AD=CF+DF。对于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（二）“一线三垂直”的性质：1，模型中必然存在起码两个三角形相像，三平等角，三对成比率的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必然存在全等三角形。【例3】如图，在垂线，垂足分别为（1）如图1，过点（2）如图2，过点ABC中，AB=ACE，F。A的直线与斜边A的直线与斜边，BAC=90o，分别过B，C向过A点的直线作BC不相交时，求证：EF=EB+CF；BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3.求EF的长。【提示】
4、（2）图21）图1是“一线三垂直是“一线三垂直”的变形”的基础模型，ABE4，和【例1】相同。CAF；【例4】如图，已知AEBAC、BD，交于点O，连结中，EO。若AEB=90o，以AB为边向外作正方形BE=2，EO=32，求五边形AEBCDABCD，连结的面积。【解析】因为ABC=AEB=90o，故结构“一线三垂直”模型，如图。过点C作CPEB，交EB延伸线于点P，连结OP。则根据“一线三垂直”模型的性质，AEBBPC，BP=AE；AOB=AEB=90o，A、E、B、O四点共圆（详见“四点共圆”在解题中的妙用（一）BEO=BAO=45o；同理BPO=BCO=45o，故EOP为等腰直角三角形；
5、EO=32，EP=6，BP=4，根据勾股定理，AB2=16+4=20，即S正方形ABCD=20，SAEB=422=4，S五边形AEBCD=20+4=24.），对于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（三）【例5】已知ABC中，ACB=90o，AC=BC，CD为AB边上的中线，点E为BC边上随意一点（不与A、D、B重合），BFCE于点F，交CD于点G，AHCE，交CE延伸线于点H，交CD延伸线于点M。求证：（1）CG=AE；（2）DE=DM。【提示】（1）根据“一线三垂直”模型，ACHCBF，ACE=CBG，又CAE=BCG=45o，AC=BC，ACEBCG；（2）由“一线三垂直”模型可知，
6、ACE=CBG，BF=CH，HCM=FBE，又BFE=CHM=90o，CHMBFE，BE=CM，进而DE=DM。同时我们也应该注意到：ACMCBE； ADMCDEBDG；AHECFG；DM=DG=DE；GEM为等腰直角三角形等。结构“一线三垂直”模型，是作协助线常用的一种手段。【例6】如图，直线l1l2l3，且l1到l2的距离为3，l2到l3的距离为4，等腰直角ABC的直角极点C在l2上，点A、B分别在l1、l3上。求ABC的面积。【提示】过点C作l2的垂线，分别交l1和l3于点D、E，结构“一线三垂直”模型，则CD=3，AD=CE=4，AC=5.对于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（
7、四）【例7】（2018初二希望杯练习题）如图，四边形ABCD为直角梯形，ADBC， BCD=90o，AB=BC+AD，DAC=45o，E为CD上一点，且BAE=45o，若CD=4，求ABE的面积。【解析】如图，过点E作EGAE，交AB延伸线于点DC延伸线于点H，结构“一线三垂直”模型；过点G作BFAD于点F。G，过点GKBCG作于点GHDC，交K，过点B作则ADEEHG，DE=GH；AD=EH=CD，DE=CH，故四边形CKGH为正方形。AF=4-BC，AB=4+BC，BF=4，（4+BC）2=（4-BC）2+42，解得：BC=1，所以AB=5；设DE=x，则BK=1-x，GK=x，AE2=x
8、2+42AEG为等腰直角三角形，AG2=2AE2，（ 5+BG）2=2（x2+42），将BG代入，化简得：（ 7x-4）2=0，x=4/7，ABE面积=梯形ABCD面积=（1+4）42-44/72-1(4-4/7)-ADE面积2=50/7。-BCE面积在直角坐标系中结构“一线三垂直【例8】如图，在直角坐标系中，点直角三角形，求点C的坐标。”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。A（1，2），点B（0，-1），已知ABC为等腰【解析】设C（m，p）。（1）当BAC为直角时：当点C在AB右侧时，如图1。过点A作DEx轴，交y轴于点D，过点C作CEDE于点E。根据“一线三垂直”模型，ABDACE， D
9、B=AE，CE=DA，即：m-1=3，2-p=1，解得：m=4，p=1，C（4，1）；当点C在AB左侧时，如图2。过点A作DEx于点E。根据“一线三垂直”模型，ABDACE-2=1，解得：m=-2，p=3，C（-2，3）；轴，交y轴于点D，过点C作CEDE，DB=AE，CE=DA，即：1-m=3，p（或许用下列方法：此时，点C和中的C对于点A对称，故m=21-4=-2，p=22 1=3.）（2）当ABC为直角时：当点C在AB右侧时，如图3。过点A作AEx轴，交y轴于点E，过点C作CDy轴于点D。根据“一线三垂直”模型，ABEBCD，DB=AE，BE=CD，即：-1-p=1，m=3，解得：m=3，p=-2，C（3，-2）；当点C在AB左侧时，如图4。过点B作DEx轴，过点C作CDDE于点D，过点A作AEDE于点E。根据“一线三垂直”模型，ABEBCD， BE=CD，BD=AE，即：0
