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1、第二章、初等代数模型第三节 不等式模型不等关系和相等关系是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。在现实生活中存在着大量的不等关系，无论是投资决策、生产规划、追求利润到价格大战，还是人口控制、环境保护、交通运输等问题的求解过程，都可归结为不等关系的论证和求解问题。利用不等式的知识解决实际问题，是近年来中考、高考的重点内容之一，它区别于用函数方法解决实际问题的主要特征是可以解决两个或两个以上变量之间的关系，而且这些变量之间可能不存在函数关系，这为探索、寻找变量之间的关系开辟了新的思想方法。不等式的性质、解法以及几个重要的基本不等式，如平均值不等式、柯西不等式和排序不等式等，这些
2、是不等式知识中的基本模型。实际问题中的一些变量如何对应转化到这些模型中去，是解决实际问题的关键。三、代表席位公平分配问题公平整分方法的存在性问题选举是政治学研究的中心问题之一。其中包括民意测验、选票分配等重要问题。选票分配是否合理是选民最关心的热点问题之一。这一问题早就引起西方政治家与科学家的关注，并采用数学方法进行了大量深入的研究。这里以学生会选举为例，先对这项研究作一初步介绍。假定某大学的学生会由n名委员组成，再设该大学有m个系，各系的学生数是pi,(i=1,2,m).全校的学生数是p=p1+ p2+ pm。问各系能获得几个委员名额？一个简单而公平的分配委员名额的办法是按人数比例分配。记q
3、i=pin/p,称它为分配的份额。自然有q1+q2+ + qm=n。如果qi(i=1,2,m)都是整数，分配是绝对公平的。但一般情况下，qi(i=1,2,m)不都是整数，而名额分配又必须是整数，怎么办？一个自然想到的办法是“四舍五入法”。四舍五入的结果可能名额正好分配，也可能会出现名额多余，或名额不够的情况。这种例子是很多的，特别是m较大的情况。正因为四舍五入法有这一缺点，美国乔治华盛顿时代的财政部长亚历山大汉密尔顿于1790年提出了一种解决名额分配的办法，并于1792年为美国国会所通过。美国国会的议员是按州分配的，汉密尔顿方法（又称“惯例法”）的具体操作如下：1）取各州份额qi的整数部分qi
4、，先让第i州拥有qi个议员。2）然后考虑各个qi的小数部分qi-qi，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止。下表4-5是按照汉密尔顿方法进行分配的：表4-5：按照惯例法进行分配系别学生数所占比例（）理论席位惯例席位甲10351510310乙63315636丙3417344总和2001002020汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。例如在剩下的最后一个名额中，出现余下的小数部分最大多于一个的情况。当然在选民众多的情况下，出现小数部分相等的情况是十分罕见的，换言之，概率很小。因此，汉密尔顿方法因其直接，在美国国会中曾被沿用很长一段历史时期，直到碰到一个称之为亚拉巴
5、马悖论为止，它一直被认为是最好的。从1880年起，美国国会就汉密尔顿方法的公正合理展开了争论。原因是1880年美国人口普查后，亚拉巴马州发现汉密尔顿方法触犯了该州的利益。按照常规，假如各州的人口比例不变，议员的名额总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少。可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规。这里以校学生会为例。人数分别为103,63和34的甲、乙、丙三个系的一个20人的代表会议，上一届按照人数比例并参照汉密尔顿方法决定三单位按10,6和4分配代表席位。但下一届会议为了避免表决提案时出现10:10的僵持局面，他们按照上述方法算出的结果是11,7和3的分配
6、方案（有关计算如表所示）。表4-6 按照比例并参照惯例法的席位分配系别人数人数比例（%）20席的分配21席的分配理论席位惯例法席位理论席位惯例法席位甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703总和200100.020.02021.00021增加一席的分配结果显然对丙系不公平，因为他们反而比原来减少了一席，这一事实说明，汉密尔顿方法并非永远合理。亚拉巴马州当年就面临这种情况，所以通常把汉密尔顿方法的产生的这一矛盾叫做亚拉巴马悖论。这个悖论是出乎意料的，它是在实践过程中出现的，不是逻辑的产物。因此，必须进一步改进汉密尔顿方法，使之
7、更加合理，新的方法不久就提出来了，并消除了亚拉巴马悖论。本节讨论的就是这种新的分配方法。建立数量指标：讨论A、B两方公平分配席位的情况。设两方人数分别p1和p2，占有席位分别是n1和n2，则两方每个席位代表的人数分别为p1/n1和p2/n2。显然，仅当p1/n1=p2/n2时席位的分配才是公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常p1/n1p2/n2。这时席位分配不公平，并且pi/ni(i=1,2)数值较大的一方吃亏，或者说对这一方不公平。不妨假设p1/n1p2/n2，讨论对A方的不公平程度。若用数值p1/n1-p2/n2来衡量，是否合理？如设p1=120,p2=100,n1=n2=10则p
8、1/n1-p2/n2=12-10=2，它衡量的是不公平的绝对误差程度。但当上述双方人数增加为p1=1020和p2=1000，而席位不变时，此时绝对不公平程度不变，但常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。因此，不公平的绝对误差程度常常无法区分两种程度明显不同的不公平情况。为了改进上述绝对误差，自然想到相对误差。仍记p1、p2为A,B两方的固定人数，n1,n2为两方分配的席位（可变）。若p1/n1p2/n2，则定义rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)=p1n2/p2n1-1 (1)为对A的相对不公平值。若p2/n2p1/n1，则定义rB(n1,n
9、2)=(p2/n2-p1/n1)/(p1/n1)=p2n1/p1n2-1 (2)为对B的相对不公平值。建立了衡量分配不公平程度的数量指标rA,rB后，制定席位分配方案的原则是使它们的不公平程度的数量指标rA,rB尽可能小。确定分配方案：1、先考虑只有两方的情形。假设A,B两方已分别占有n1和n2席，利用相对不公平值rA,rB讨论，当总席位增加1时，应该分配给A还是B.不失一般性，可设p1/n1p2/n2。即对A不公平，当分配1个席位时。关于pi/ni(i=1,2)的不等式可能有以下3种情况：1）p1/(n1+1)p2/n2，这说明即使使A方增加1席，仍然对A不公平，所以这一席显然应分给A方.2
10、）p1/(n1+1)p2/(n2+1)，即当B方增加1席时将对A不公平，参照（1）式可计算出对A的相对不公平值为rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)/p2n1-1 (4)（不可能出现p1/n1p2/(n2+1)的情况，为什么？）因为不公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽可能地小，所以如果rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1) (5)则这1席应分给A方；反之则分给B方。根据（3）、（4）两式，（5）式等价于p22/n2(n2+1)p2/n2也有（6）式成立。当（6）式成立时，增加的1席应分给A方，反之则分给B方。若记Qi=pi2/ni(ni+1),i=1,2，则增加的席位应分给Q值大
11、的一方。2、上述方法可以推广到有m方分配席位的情况。设第i方人数为pi，已占有ni个席位i=1,2,.m.，当总席位增加1席时，计算Qi=pi2/ni(ni+1),i=1,2，,m (7)。应将这一席分给Q值最大的一方。这种席位分配方法称Q值法。下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲、乙、丙三系分配21个席位的问题。先按照比例计算结果将整数部分的19位分配完毕，有n1=10,n2=6,n3=3，然后再用Q值法分配第20席和第21席。第20席：计算Q1=1032/(1011)=96.4,Q2=632(67)=94.5, Q3=342/(34)=96.3, Q1最大，于是这一席应分给甲系。第21席：
12、计算Q1=1032/(1112)=80.4,Q2,Q3同上最大，于是这一席应分给丙系。这样，21个席位的分配结果是甲、乙、丙三系分别占有11、6、4席，丙系保住了险些丧失的一席，你觉得这种分配方法公平吗？评注：1、席位分配应该对各方公平是人人同意的，问题的关键在于建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标，这个模型提出的指标是相对的不公平值rA,rB，它是确定分配方案的前提。在这个前提下导出的分配方案分给Q值最大的一方，无疑是相对公平的。2、让我们分析一下Qi的表达式（7），看看它为什么能反映对第i方的不公平程度。记p为总人数即，n为总席位数，且设第i方席位ni为按人数比例计算的整数部分，即，于
13、是有。上式两端分别是增加的1席分给第i方和不分给第i方时，该方每席位所代表的人数，这两个值越大，对第i方越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值的平方，故Qi能反映对第i方的不公平程度，增加的1席应分给Q值最大的一方。3、（1）式右端的分母可以换为p1/n1，对下面的结果没有影响。4、如果一开始就用Q值法，以n1=n2=n3=1为基础分配，那么前19席的分配结果与这个数字相同。从而说明了Q值法的有效性。5、尽管Q值法相对有效了，但是这个新的方法又引出了新的问题。例如，试对人数分别为404,204,104,54,14的七单位决定77席、78席和79席的公平分配方案？表4- 按照惯例法和Q值法的席位分
14、配单位人数pi77席的分配78席的分配79席的分配理论席位qi惯例法席位niQiQ值法席位ni理论席位qi惯例法席位niQiQ值法席位ni140439.8824099.5224140.924194.78341220420.1382099.0862020.662199.08621310410.2641098.3271010.531198.327104545.3308597.255.47597.255141.3821232.66721.42132.6672总和780777778797979由上表可知，当代表席位为77席时，用惯例法得到的分配方案是(40,20,10,5,2)。在此基础上增加1席至78席，因为5个单位小数部分均为0.4，所以用惯例法分配就失效了。因此，在77席用惯例法得到的分配方案(40,20,10,5,2)的基础上，用Q值法得到78席的分配方案(41,20,10,5,2)。再在此基础上增加1席至79席，继续用Q值法得到79席的分配方案(41,21,10,5,2)。这种席位分配处理方法，避免了亚拉巴马悖论
