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1、2018-2019学年江苏省无锡市江阴市四校高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）计算：的值为 2（5分）已知复数z，其中i为虚数单位，则复数z的实部为 3（5分）方程CC的解为 4（5分）已知复数z（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 5（5分）用反证法证明命题：“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 6（5分）用数学归纳法证明不等式“2nn2+1对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n0应取为 7（5分）甲、乙两人从4门课程
2、中各选修2门则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 种8（5分）2331除以9的余数为 9（5分）若（2x+）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值为 10（5分）已知不等式 ，照此规律，总结出第 n（nN*）个不等式为 11（5分）在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图所示），而DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 12（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个
3、区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为 13（5分）把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an，则a2019 14（5分）三角形的周长为31，三边a，b，c均为整数，且abc，则满足条件的三元数组（a，b，c）的个数为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）已知复数z（mR，i是虚数单位）是纯虚数（1）求m的值；（2）若复数w，满足|wz|1，求|w|的最大值16（14分）（1
4、）设ab0，求证：2a3b32ab2a2b；（2）已知非零实数a，b，c是公差不为零的等差数列，求证：17（14分）从8名运动员中选4人参加4100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒18（16分）已知（+3x2）n展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992（）求n；（）求展开式中x6的项；（）求展开式系数最大项19（16分）已知等差数列an的公差d大于0，且a2、a5是方程x212x+270的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn1b
5、n（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小并且用数学归纳法给出证明20（16分）已知（1）设g（x）f3（x）+f4（x）+f10（x），求g（x）中含x3项的系数；（2）化简：；（3）证明：2018-2019学年江苏省无锡市江阴市四校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）计算：的值为15【分析】根据排列和组合公式进行计算即可【解答】解：C5420352015，故答案为：15【点评】本题主要考查排列和组合数公式的计算，利用公式是解决本题的关键
6、比较基础2（5分）已知复数z，其中i为虚数单位，则复数z的实部为【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z，复数z的实部为故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）方程CC的解为4或6【分析】根据组合数公式以及组合数性质进行求解即可【解答】解：由得得2x9，则由，得x2x4或x+2x414，即x4或x6，故答案为：4或6【点评】本题主要考查组合数的计算，结合组合数的公式建立方程是解决本题的关键4（5分）已知复数z（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：复数z
7、（1+i）（1+2i）12+3i1+3i，|z|故答案为：【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）用反证法证明命题：“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故答案为：a，b都不能被5整除【点评
8、】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧6（5分）用数学归纳法证明不等式“2nn2+1对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n0应取为5【分析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n1，2，3，4，5时，命题是否成立；可得答案【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n1时，左212，右12+12，2nn2+1不成立，n2时，左224，右22+15，2nn2+1不成立，n3时，左238，右32+110，2nn2+1不成立，n4时，左2416，右42+117，2nn2+1不成立，n5
9、时，左2532，右52+126，2nn2+1成立，因为n5成立，所以2nn2+1恒成立故答案为：5【点评】本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意n的取值范围7（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有30种【分析】“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同合理按照分类及分部解决：1，甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门2甲乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：从4门中先任选一门作为相同的课程，甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门【解答】解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选
10、法可以分为两类：1甲乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C226种2甲乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：从4门中先任选一门作为相同的课程，有C414种选法，甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C216种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C2124种最后由分类计数原理，甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+2430种故答案为30【点评】排列组合问题要注意分类与分步，做到不重复也不遗漏8（5分）2331除以9的余数为7【分析】把所给的式子化为（91）111，按照二项式定理展开，可得它除以9的余数【解答】解：由于2
11、3318111（91）111+1，由于前11项都有因数9，故所给的式子故除以9的余数即为 12 除以9的余数，故所给的式子除以9的余数为 7，故答案为 7【点评】本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子化为（91）111，是解题的关键，体现了转化的数学而思想，属于中档题9（5分）若（2x+）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值为1【分析】通过对x赋值1和1，求出各项系数和与正负号交替出现的系数和，两式相乘得解【解答】解：（2x+）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x1得a0+a1+a2+a3+a4，令x1得a0a1+a2a
12、3+a4；两式相乘得（34）4（a0+a2+a4）2（a1+a3）21故答案为：1【点评】本题考查了利用赋值法求二项展开式系数和问题，是基础题10（5分）已知不等式 ，照此规律，总结出第 n（nN*）个不等式为1+【分析】从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律【解答】解：由已知三个不等式可以写成1+，1+，1+，照此规律得到第n个不等式为1+；故答案为：1+（nN+）【点评】本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律11（5分）在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如
13、图所示），而DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是【分析】三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面积，从而得到【解答】解：在ABC中作EDAC于D，EFBC于F，则EDEF，根据面积类比体积，长度类比面积可得：，即故答案为：【点评】本题考查了类比推理，将平面中的性质类比到空间12（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为420【分析】根据题意，假设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步依次分析区域
14、A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案【解答】解：根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：，对于区域A，有5种颜色可选；，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3+227种选择，则不同的涂色方案有5437420种；故答案为：420【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题13（5分）把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an，则a20193974【分析】观察乙图，前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，然
