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1、吉首大学数学与统计学院 点集拓扑教案第一章 拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概
2、念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,，xn),Y=(y1,y2,，yn) 之间的距离d(x,y)= 。无论是几维空间，它的距离都有下面的性质： 1. d(x,y)0 , x,y ; 2. d(x,y) = 0 x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) x,y ; 4. d(x,z) d(x,y) + d(y,z) , x,y,z ;这些性质反映了距离的特征。将推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。（一 ） 度量空间1. 定义定义1 设X是一个集合，
3、：XXR ,如果对于任何x,y,zX,有（正定性）（x,y）0 并且 (x,y) = 0 x = y ； （对称性） (x,y) = (y,x) ；（三角不等式） (x,z) (x,y) + (y,z) 则称是集合X中的一个度量。 如果 是集合X中的一个度量，则称偶对（X，）是一个度量空间，或径称X是一个度量空间。而（x,y）称为从点X到点Y的距离。2. 度量空间举例例2.1.1 实数空间R对实数集合，定义：RRR如下：x,yR，令（x,y）=|x-y| ,易知是R的一个度量。因此（R,）是一个度量空间。可见，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广。例2.1.1 n维欧式空间对实数集合R的
4、n重笛卡尔积=RRR，定义：R如下：对任意两点x=(x1 ,x2,，xn),Y=(y1,y2,，yn) ，令（x,y）= ，可以验证是的一个度量，偶对（，）称为n维欧氏空间。有时径称为n维欧氏空间。n=2时，常称为欧氏平面或平面。例2.1.2 Hilbert空间H记H是平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H= x=(x1 ,x2,，xn) | xi R, iZ+ , ,定义：HHR如下：对于任意x=(x1 ,x2,，xn),Y=(y1,y2,，yn) H，令（x,y）= 。这个定义的合理性及验证以及验证是H的一个度量，可见P49 附录。因此（H, ） 是一个度量空间，称为Hilbert空间。例
5、2.1.3 离散的度量空间设（X, ）是一个度量空间，称（X, ）是一个离散的度量空间或称是一个离散的度量，如果对每一个xX,存在一个实数使得（x,y） ,对任何yX，y x成立。如，设X是一个集合，定义：XXR ,使得对于任何x,yX,有 , 易知 是X的一个离散度量，度量空间（X, ）是离散的。思考题例2.1.5 令X= C (a,b) = f: a,bR |f在a,b上连续，并且对于任意的f , g C (a,b),令d(f,g)= , d是C (a,b)的度量吗？ （答案： d是C (a,b)的度量，因此（C (a,b)，d）是一个度量空间）3. 邻域、开集 度量空间的球形邻域及其基本
6、性质定义2. 设（X, ）是一个度量空间，xX, 对于任意的0，B（x, ）=yX |（x,y） 1时若A1 ，A2 ， ， An T ,则A1A2 An T 。（但对无限交不一定成立，见后面的例） 、两条常被称为关于有限交、无限并封闭； 当T 1 =时，, 这一点在中已有规定，因此以后验证成立只需对T 1 验证即可； 有拓扑空间的定义和度量空间开集的基本性质知，度量空间都是拓扑空间。关于这一点还有下面的定义：定义1.1.2 设（X, ）是度量空间。令T 是由X中的所有开集构成的集族，据TH1.0.2，T 是X的一个拓扑。我们称T为X的由度量诱导出来的拓扑。约定：说度量空间（X, ）的拓扑时，
7、如果没有另外说明，就指T ，称其为拓扑空间时就指（X, T） 。 因此，实数空间R，n维欧氏空间Rn (特别，欧氏平面R2),Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，其拓扑就是其各自的通常度量诱导出来的拓扑。在实数空间中，（）是开集，但不是开集。这说明无限个开集的交不一定是开集。定理1.1.1 设X是一个拓扑空间，记F 为所有闭集构成的集族。则： X,F ； 如果A,BF ，则A,BF ； 如果F 1 F ，则 。证明 由于X,T ，所以=X，X=F 。 当A,BF 时，有 A,BT ，从而ABT ，因此AB = AB=（AB）F 。 令T 1 =A |AF 1 ,于是T 1 T ，因此，从而
8、 。证毕。注： 蕴含着，n1时，A1，A2，An 是闭集，则A1A2An 也是闭集。即闭对有限并封闭； 中要求F 1，因为F 1 =时， 无意义。例1. 平庸空间设X是一个集合，令T =X ,，容易验证T是X的一个拓扑，称为X的平庸拓扑，称 （X，T ）为平庸空间。在平庸空间中，有且只有两个开集：X ,；有且只有两个开集：X ,。 例2.离散空间设X是一个集合，令T =P (X)，易知T是X的一个拓扑，称为X的离散拓扑，称（X，T ）为离散空间。在离散空间中，每一个子集都是开集，每一个子集都是开集。离散空间可以记作（X，P (X)） 。例3. 设X=a,b,c,令T = ,a ,a,b,X ,可以验证T是X的一个拓扑，因此（X，T ）为一个拓扑空间。它既不是平庸拓扑，又不是离散拓扑。说明： 对X=a,b,c，可以为其构造出29个拓扑，其中平庸拓扑最小，离散拓扑最大。可见对同一个集合，它可以有不同的拓扑。例4.有限补拓扑空间设X是一个集合，令T =U X | U 是X的一个有限子集
