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1、高考数学精品复习资料 2019.5第2讲平面向量的数量积及应用考纲展示命题探究1平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos.规定：0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积2平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a
2、|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)4平面向量数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2.(2)|a|.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)cos.(4)abab0x1x2y1y20.注意点数量积的含义和向量垂直与共线的区别(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确
3、定(2)x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件. 1思维辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负()(2)若ab0，则必有ab.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(4)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形()答案(1)(2)(3)(4)2(1)已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()AB.C D.(2)如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则()A2 B.C. D.答案(1)A(2)D解析(1)由
4、条件得ab(31,2)，a2b(1,2)，因为ab与a2b垂直，所以(31,2)(1,2)0，即3140，解得.(2)() () 2，选D.考法综述高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问题：利用坐标计算平面向量的数量积；根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中相关向量的数量积；根据数量积求参数值分值在5分左右，难度中等命题法求向量的数量积、夹角、模及平行垂直的条件典例(1)AD，BE分别是ABC的中线，若|1，且与的夹角为120，则()A. B.C. D.(2)设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于()A BC. D.(3)已知平面向量，|1，|
5、2，(2)，则|2|的值是_解析(1)|1，且与的夹角为120，|cos120.由得()，选D.(2)a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.(3)由题意可知(2)0，结合|21，解得，所以|2|2424242410，|2|.答案(1)D(2)D(3)【解题法】向量的夹角与模的求法(1)两向量的夹角的范围是0，当a与b的夹角是锐角时ab0且a与b不共线；当a与b的夹角是钝角时ab0且a与b不共线；当a与b的夹角是直角时ab0.(2)向量的模的求法|a|2a2aa.|ab|2(ab)2a22abb2.若a(x，y)，则|a|.1已知菱形A
6、BCD的边长为a，ABC60，则()Aa2Ba2C.a2 D.a2答案D解析在菱形ABCD中，所以()a2aacos60a2a2a2.2ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)答案D解析2a，2ab，a，b，ABC是边长为2的等边三角形，|b|2，ab1，故a，b不垂直，4ab2，故(4ab)()220，(4ab)，故选D.3.设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2，则()扫一扫听名师解题A20 B15C9 D6答案C解析选择，为基向量3，又2，于是(43)(43)(16|29|2)9，
7、故选C.4.若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()扫一扫听名师解题A. B.C. D答案A解析由条件，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即ab3a22b2.又|a|b|，所以ab322b2b2，所以cosa，b，所以a，b，故选A.5若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B.C1 D.答案B解析(ab)a，|a|1，(ab)a0，|a|2ab0，ab1.又(2ab)b，(2ab)b0.2ab|b|20.|b|22.|b|，选B.6平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，
8、则m()A2 B1C1 D2答案D解析a(1,2)，b(4,2)，cm(1,2)(4,2)(m4,2m2)又c与a的夹角等于c与b的夹角，cosc，acosc，b.即，解得m2.7已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_答案90解析由()可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即BAC90，故与的夹角为90.8已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.答案解析|b|，由ab0，得ba，故|b|a|a|，所以|.9已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos_.答案解析ab(3e12e2)(3e1e2)92911
9、8.|a|2(3e12e2)29412119，|a|3.|b|2(3e1e2)2916118，|b|2，cos.10. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_答案22解析由题意知，所以22，即22564，解得22.1向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，常用公式：cos.(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|或|AB|.2向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识3向量中的不等式|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|.注意点坐标系的应用向量在平面几何中的应用，往往与求模、夹角、面积等有关，如果建立适当的坐标，可将问题转化为向量的坐标运算使问题简化. 1思维辨析(1)ABC内有一点O，满足0，且，则ABC一定是等腰三角形()(2)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算()(3)在ABC中，若0，|ab|2cosx.f(x)
