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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二)第卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=0,1,2,N=,则=( )A. 1B. 2C. 0,1D. 1,22.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,zxxk,则( )A. - 5B. 5 C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab = ( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC= ,则AC=( )A. 5B. C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为
2、优良的概率是0.75,连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D. 7.执行右图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S= ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= A. 0 B. 1
3、C. 2 D. 3 9.设x,y满足约束条件,则的最大值为( )A. 10 B. 8 C. 3 D. 210.设F为抛物线C:的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为( )A. B. C. D. 11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 12.设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是( ) A. B. C. D.第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题,考
4、生根据要求做答.本试题由http:/整理二.填空题13.的展开式中,的系数为15,则a=_.(用数字填写答案)14.函数的最大值为_.15.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是_.16.设点M(,1),若在圆O:上存在点N,使得zxxkOMN=45,则的取值范围是_.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列满足=1,.()证明是等比数列,并求的通项公式;()证明:.18. (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.()证明:PB平面AEC;()设二面角D-AE-C为60,AP=1,A
5、D=,求三棱锥E-ACD的体积.19. (本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9()求y关于t的线性回归方程;()利用()中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,20. (本小题满分12分)设,分别是椭圆C:的左,右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交
6、点为N.()若直线MN的斜率为,求C的离心率;()若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.21. (本小题满分12分)已知函数=()讨论的单调性;()设,当时,,求的最大值;()已知,估计ln2的近似值(精确到0.001)请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,有途高考网同按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10)选修41:几何证明选讲如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:()BE=EC;()ADDE=223. (本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程在直角
7、坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,.zxxk()求C的参数方程;()设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据()中你得到的参数方程,确定D的坐标.24. (本小题满分10)选修4-5:不等式选讲设函数=()证明:2;()若,求的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题(1)D (2)A (3)A (4)B (5)A (6)C (7)D ( 8)D (9)B (10)D (11)C (12)C二、 填空题(13) (14)1 (15)(-1,3) (16)-1,1三、解答题(17)解:(1)由得又,所
8、以, 是首项为,公比为3的等比数列。=,因此的通项公式为=(2)由(1)知=因为当n1时,所以,于是,=所以,(18)解:(1)连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点又E为的PD的中点,所以EOPBEO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,为单位长,建立空间直角坐标系,则Axyz,则D(0, ,0),则E(0, ,),=(0, ,)设B(m,0,0)(m0),则C(m, ,0)设n(x,y,z)为平面ACE的法向量,则 即 可取=(,-1,
9、)又=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设=,即=,解得m=因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为,三棱锥E-ACD的体积为V=19解:(1) 由所得数据计算得=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3=9+4+1+0+1+4+9=28=(-3) (-1.4)+(-2)(-1)+(-1)(-0.7)+00.1+10.5+20.9+31.6=14,b=0.5a=-b=4.3-0.54=2.3所求回归方程为=0.5t+2.3()由()知,b=0.50,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年
10、增加0.5千元. 将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y=0.59+2.3=6.8故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元(20)解:()根据c=以及题设知M(c,),2=3ac将=-代入2=3ac,解得=,=-2(舍去)故C的离心率为()由题意,原点O的的中点,My轴,所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点,故=4,即 由=得=设N(x,y),由题意可知y0,g(x)0;(2) 当b2时,若x满足,2 2b-2即 0xln(b-1+)时g(x)0,而g(0)=0,因此当0Xln(b-1+)时,g(x)0,ln20.6928当b=+1时,ln(b-1+)=lng(ln)=-2+(3+2)ln20in20,有f(x)=x+1/a+x-ax+1/a-(x-a)=1/a+a2.所以f(x)2.()f(x)=3+1/a+3-a.当a3时,f(3)=a+1/a,由f(3)5得3a当0a3时,f(3)=6-a+,f(3)5得a3综上所诉,a的取值范围为()