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1、1、数学建模入门作业1、贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子,他们打算用20年的时间还清贷款。目前,银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。(1)在上述条件下,小王夫妇每月的还款额是多少?共计付了多少利息?(2)在贷款满5年后,他们认为他们有经济能力还完余下的款额,打算提前还贷,那么他们在第6年初,应一次付给银行多少钱,才能将余下全部的贷款还清?(3)如果在第6年初,银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月,他们仍然采用等额还款的方式,在余下的15年内将贷款还清,那么在第6年后,每月的还款额应是多少?(4)某借贷公司的广告称,对于贷款期在20
2、年以上的客户,他们帮你提前三年还清贷款。但条件是:(i) 每半个月付款一次,但付款额不增加,即一次付款额是原付给银行还款额的1/2;(ii) 因为增加必要的档案、文书等管理工作,因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分析,小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解答:(1)根据题意设Ak为第k个月的欠款额,r为月利率,x为每个月的还款额则有,第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额月利率+第k-1个月的欠款额-每个月的还款额即第k个月的欠款额:Ak= Ak1(1+r)x,k=1,2,N (1)其中N为贷款的总月数,A0为最初贷款额;由方程(1)容易推出A1 = A0(1 + r ) x;A2
3、 = A1(1 + r ) x = A0(1 + r )2- x(1 + r ) + 1;第k个月的还款金额为Ak= A0(1+r)kx(1+r)k-1+(1+r)+1= (2)贷款总月数为N,也就是说,第N个月的欠款额为0,即AN0,在方程(2)中令N=k,导出每月的还款额,可见每个月的还款额一定大于贷款额月利率。综上所述将r0.006,n240,A02105代入可计算出每月还款额x=1574.70元,共还款1574.70240377928.00元,共计付利息177928.00元。(2)在贷款满5年后,根据题意有k512=60,代入公式计算可得到则一次付款额A60173034.90元。(3)
4、根据题意从银行调整利率后算起,A0=173034.90,n=1512=180,r0.008,由此可以得到x1817.33元,即每月的还款额应为1817.33元。(4)根据题意,提前3年还完贷款则为17年还完贷款。 如果小王夫妇不请请这家借贷公司帮助还款,则每月的还款额约为1574.7元,则总共的还款额为1574.71220377928元。如果小王夫妇请这家借贷公司帮助还款,根据题意,每半个月付款一次,即每月付款2次,一次付款额是原付给银行还款额的1/2,还需考虑付给借贷公司的佣金,因此总的还款额是1574.6990.517122+20000010%341238.60元。因此,小王夫妇应该请这家借贷公司帮助还款。2、冷却定律与破案按照Newton冷却定律,温度为T的物体在温度为To (To0的条件下,所以在随机情况下,甲选手的分数要高于其他选手。因此从比赛公正性的角度分析,他抱怨的对。但是对他个人而言,比赛是有利于他的。评分规则的修正:想要比赛公平,评委对本学校选手不给分,但此评委对其它选手所打的平均分必须等于其它评委所打的平均分。假设参赛有n位选手,只有选手甲所在学校有一位评委,其它选手所在学校无人担任评委。根据上面计算的结果,选手甲所在学校的评委所打的平均分为,而其他评委平均分,因此,将选手甲所在单位评委的评分方法改为:按照优劣分别记 1+分, 2分,。