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1、A题 血管的三维重建四院九九 向为 王瑛 伍微摘要：对此问题我们提出的是一个搜索模型，从而求出原始球（形成包络的球）的半径，以及中轴线。首先我们把每一个切片图的bmp文件转化为一个512512的0,1矩阵（0代表无象素，1代表有）。再求切片的轮廓线，也存为0，1矩阵。然后在题设条件下证明了以下几个结论：1能够被切片包含的半径最大的圆的半径等于原始球（形成包络的球）的半径；2可以被切片包含的圆的半径一定小于等于原始球的半径；3不能被包含于切片的圆的半径一定大于原始球的半径。 根据上述结论，对每一个切片，只要找到能够被切片包含的半径最大的圆就能求出原始球的半径。我们设计了一个二分搜索算法求该半径，
2、再根据半径搜索求出每个切片和中轴线相交的点的坐标。算法概要：1求粗略的rmax（原始球半径上限）；2求粗略的rmin（原始球半径下限）；3切片内所含的标准圆（以原始球的半径为半径的圆）的圆心O不可能在离切片边缘距离小于rmin的点。则在切片上去掉这些点后，就得到了O可能存在的位置区域；4用二分法不断缩小原始球半径r0可能的取值范围，从而求出r0；5求出切片内所含的标准圆的圆心的坐标，这就是为切片和中轴线相交的点的坐标。搜索原始球的半径时，因为所给的图象数据的精度有限，所以在执行算法时遵循以下规则：1在判断一个圆面是否有一部分在切片的外部时，把这个圆和切片都看成由一个一个的像素点组成，若圆面中有
3、像素点在切片的外部，就认为圆超出了切片；2几何上的半径为r的圆面转化为像素圆面的方法是，当一个像素的中心离圆心的距离小于等于r时，这个像素属于这个圆面；3因为所给数据精度有限，所以包含于切片中的以原始球的半径为半径的圆可能不止一个。取这些圆的圆心的重心为含于切片内的标准圆的圆心，即中轴线与切片的交点。最后对中轴线上已知的点进行拟合，由于一个z只对应于一个x和一个y,故可分别对其投影分别在YZ、ZX平面上进行多项式拟合，求出y=f1(z)和y= x=f2(z)。则中轴线的空间方程即为上两式的联立。用本模型可以对每一个切片求出一个r0(原始球的半径)，共求出100个r0。这些r0的平均值为30.1
4、706，方差为0.0176。可见r0的精度很高。这个模型采用了较巧妙的搜索算法，求解结果可以达到很高的精度。能够很好的重建包络，并加以分析，在医学方面有很大作用。 一问题重述 断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的
5、球滚动包络形成。现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。 取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），（-255，255，z），（ 255
6、，-256，z），（ 255，-255，z），（255，255，z）。 试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。二基本假设1. 管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；2. 球半径固定；3. 切片间距以及图象象素的尺寸均为1；4. 血管无断裂无突变，即管道表面光滑且连续；5. 对切片拍照的过程中不存在误差，数据误差仅与切片数字图象的分辨率有关；6. 假设中轴线的曲率相对于标准圆的曲率较小。三术语及符号说明 术语说明：切片： 指包络表面与切平面相交而成的曲线围成的区域。原始球： 指沿中轴线滚动形成包络的球。标准圆： 指与原始球等半径的圆。 符号说明：r
7、0 原始球的半径。（由基本假设中2.可知，半径r0固定，为常数）rmax r0的上限rmin r0的下限Oj 在切片内部且与切片相切的标准圆的圆心C Oj可能存在的区域s 切片面积smin 在100个切片图中，切片面积s的最小值E常数，为r0的误差限四问题分析及模型建立首先我们证明了：“在题给条件下，任意一个切片中所能容纳的最大的圆，即为标准圆，且此圆唯一”等结论（证明详见附录1）由这些结论可知：1 切片包含的以r0为半径的圆有且仅有一个；2 这个圆的圆心在中轴线上；3 切片包含的其它圆的半径一定小于r0；4 切片面积一定大于标准圆面积；5 不能被切片包含的圆的半径一定大于r0。任取一半径r，
8、都能由3和5判断r与r0的关系。这样我们可以设计一个二分算法搜索r0（见算法描述）。那么我们可以根据r0求出切片所含的标准圆的圆心（详见算法描述），即中轴线与切片的交点。由100个切片，可以求出100个在中轴线上的点的坐标。然后对其进行拟合(详见后)得中轴线。对于题给的bmp文件，它的精确度只达到1个单位长度。所以我们在执行算法时遵循以下规则：l 判断一个圆面是否有一部分在切片的外部：把这个圆和切片都看成由一个一个的像素点组成。若圆面中有像素点在切片的外部，就认为圆超出了切片。l 一个半径为r的圆面转化为像素圆面的方法：当一个像素的中心离圆心的距离小于等于r时，这个像素属于这个圆面。l 因为存
9、在误差，所以以r0为半径的且被包含在切片中的圆可能不止一个。取这些圆的圆心的重心为含于切片内的标准圆的圆心，即中轴线与切片的交点。之所以要取这些圆心的重心，因为这些圆心一般是在含于切片内的标准圆的圆心附近均匀分布。五算法说明：目标：得出半径r0, 得出中轴线上100个离散点的坐标. 大体步骤：1求粗略的rmax2求粗略的rmin3求出切片的边缘点的位置4根据rmin,求出切片内所含的标准圆的圆心O可能存在的位置区域5用二分法不断缩小标准圆半径r0可能的取值范围，从而求出r06用求出切片内所含的标准圆的圆心的位置。 详细步骤：一)求粗略的rmax由于切片面积一定大于标准圆面积，即pir02s ，
10、从而r0(s/pi) 0。5，所以r0 的上限rmax=(smin/pi) 0。5。二)求粗略的rminstep1： rmin=0，step2： 若可以轻易的找出一个以rmin为半径的圆被包含在切片之内，则 rmin=rmin+1，返回step2；否则，结束步骤二。从而找出一个粗略的rmin。三）求出切片的边缘点的位置四)根据rmin,求出切片内含的标准圆的圆心O可能存在的位置，即为在切片中去除离切片边缘距离小于rmin的点。做一个以rmin为半径的圆，圆心在切片的边缘遍历，这些圆包含的点都从切片内去除后，就得到了O可能存在的区域C。五）用二分搜索法求原始球半径r0 Step1: 如果rmax
11、与rmin接近到一定程度，即(rmaxrmin)E时，则 step 1.1 r0=(rmax+rmin)/2；step 1.2 结束步骤四Step2: r=(rmax+rmin)/2 Step3: 以r 为半径，做出一个圆，圆心在区域C中以步长dr遍历循环Step3.1: 若这个圆被包含在切片内，则 Step3.1.1: rmin=r Step3.1.2: 转到 Step1Step4 若无论圆心在哪儿，切片都不能完全包含此圆则rmax=r;Step5 转到Step1六）求切片内含的标准圆的圆心 Step1：做以r0为半径的圆，圆心在区域C中以步长dr遍历循环Step1.1 求出此圆超出切片的面
12、积，记为sc1Step1.2 求sc1的最小值，记为minsc且当sc1为minsc的时候记下此时的圆心位置。Step2: 这些圆心的重心为标准圆的圆心 算法中的参数值：E始终等于0.01dr根据Z坐标的变化表：（算法的时间复杂性是与dr2成反比的）Z坐标1151620213031404150步长dr0.250.30.50.81.0Z坐标516061707180819091100步长dr1.21.41.61.82.0在此算法中圆心遍历的步长dr根据Z坐标的变化的依据是从时间的占用情况来的。开始的切面面积较小，可以取较小步长，到Z较大的时候若步长太小则时间复杂度太高，则取较大步长。六模型求解及分
13、析用VC按上述算法编程，对每个切片求解中轴线与切片的交点坐标及球半径；然后对半径取平均，对交点依据最小二乘原则得到中轴线的拟合曲线。表1给出了由前三张和最后三张bmp图求解出的中轴线与切片的交点坐标及球半径，详细结果参见附录2。其中：i： 切片序号；rmin： 用半径二分搜索算法在第i张切片得到最终的半径下限；rmax： 用半径二分搜索算法在第i张切片得到最终的半径上限；r： 用半径二分搜索算法在第i张切片算得的半径；(xi,yi)：在第i张切片求出的球心的横纵坐标。irminrmaxr(xi,yi)129.99804730.00390630.000977(-160.875000，0.1250
14、00）229.99804730.00390630.000977(-160.916664，0.500000）329.99804730.00390630.000977(-160.875000，0.750000)详见附录29830.00390630.00976630.006836(186.100006，17.300000）9930.20312530.20898430.206055(187.500000，13.500000）10030.50195330.50781330.504883(188.500000，-4.000000)表1 由各切片求出的球半径、球心坐标简图（节选自附录2）求得半径， 其中，ri为根据第i张切片求出的球半径，利用MATLAB中的VAR函数求得半径的方差为0.0176。下面，对球心坐标在最小二乘原则下进行多项式拟合，并在数值分析的理论基础上给出多项式阶数的确定方法：先讨论关于最小二乘多项式的阶数选择问题。当用m次多项式拟合时，若m过小则可能不足以表示函数的固有规律，而m过大时最小二乘多项式又失去了光滑
