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1、导数常用的一些技巧和结论(2017年全国新课标1理21)已知.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围.解析:(1)若,则恒成立,所以在R上递减;若,令,得.当时,所以在上递减;当时,所以在上递增.综上,当时,在R上递减;当时,在上递减,在上递增.(2)有两个零点,必须满足,即,且.构造函数,. 易得,所以单调递减.又因为,所以.下面只要证明当时,有两个零点即可,为此我们先证明当时,.事实上,构造函数,易得,所以,即.当时,其中,所以在和上各有一个零点.故的取值范围是.注意:取点过程用到了常用放缩技巧。一方面:;另一方面:时,(目测的)常用的放缩公式(考试时需给出证明过程)第一组:
2、对数放缩(放缩成一次函数),(放缩成双撇函数),(放缩成二次函数),(放缩成类反比例函数),第二组:指数放缩(放缩成一次函数),(放缩成类反比例函数),(放缩成二次函数),第三组:指对放缩第四组:三角函数放缩,. 第五组:以直线为切线的函数,.几个经典函数模型经典模型一:或.【例1】讨论函数的零点个数.(1)时,无零点.,.(2)时,1个零点.,.(3)当时,2个零点.(目测),其中.(放缩).,其中.(用到了)(4)当时,1个零点.,单调递增.,.【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例1:):1. 讨论的零点个数(令,);2. 讨论的零点个数(令);3. 讨论的零点个数(考虑);4.
3、 讨论的零点个数(考虑,令,);5. 讨论的零点个数(令,);6. 讨论的零点个数(令).经典模型二:或【例2】讨论函数的零点个数.(1)时,1个零点.,单调递增.且,所以在上有一个零点;(2)时,无零点.恒成立;(3)时,无零点.;(4)时,2个零点.,.【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2:):1. 讨论的零点个数(令,);2. 讨论的零点个数(去分母后与1等价);3. 讨论的零点个数(移项平方后与1等价);4. 讨论的零点个数(移项开方后换元与1等价);5. 讨论的零点个数(乘以系数e,令);6. 讨论的零点个数(令,转化成2)7. 讨论的零点个数(令,);经典模型三:或【例】讨论函数的零点个数.(1)时,1个零点. ,单调递增.,.(2)时,1个零点().(3)时,无零点.,(4)时,1个零点.(5)时,2个零点.,【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3:):1.讨论的零点个数;2. 讨论的零点个数(考虑,令);3. 讨论的零点个数(令);4. 讨论的零点个数;练习题1. 已知函数有两个零点,求的取值范围.2. 设函数,讨论的导函数的零点的个数.3. 已知函数有两个零点,求的取值范围.4.已知函数. 当时,试讨论的零点的个数.