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1、智慧在这里绽放，状元从这里起航状元廊学校秋季班数学思维方法讲义之一 年级：九年级 第1讲 证明三角形专题【学习目标】1、牢记三角形的有关性质及其判定；2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。【考点透视】1、全等三角形的性质与判定；2、等腰等边三角形的性质与判定；3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；4、相似三角形的性质与判定。【精彩知识】专题一 三角形问题中的结论探索【例1】如下图，两块完全相同的含30角的直角三角形叠放在一起，且DAB=30。有以下四个结论：AFBC ；ADGACF； O为BC的中点； AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 .ADBCEO变式练习1如图，ABD
2、与AEC都是等边三角形，ABAC，以下结论中：BE=DC；BOD=60；BODCOE正确的序号是 考点感悟：专题二 三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例2】如图(1)，RtABC中，ACB=-90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F1求证：CE=CF2将图1中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图2所示试猜测：BE与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论图1 图2【例3】ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作MDN=B1如图1当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形2
3、如图2，将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点点E与点A不重合，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论3在图2中，假设AB=AC=10，BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求线段EF的长考点感悟：变式练习：如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，以下结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150；其中正确的结论是【 】A B C D 【例4】如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此
4、时BD=CF，BDCF成立1当正方形ADEF绕点A逆时针旋转090时，如图2，BD=CF成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由2当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G求证：BDCF； 当AB=4，AD=时，求线段BG的长考点感悟：专题三 几何动态问题【例5】如图，在ABC中，ABAC10 cm，BC12 cm，点D是BC边的中点点P从点B出发，以a cm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1 cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s(1)假设a2，BPQBDA
5、，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形假设a，求PQ的长；是否存在实数a，使得点P在ACB的平分线上？假设存在，请求出a的值；假设不存在，请说明理由考点感悟：变式练习：线段AB=6，CD是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为 专题四 几何与函数结合问题【例6】如下图，在形状和大小不确定的ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分CBP，设BP=，PE=.1当时，求的值；2当
6、CQ=CE时，求与之间的函数关系式；3当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；当CQ=CE为不小于2的常数时，求直接与之间的函数关系式。考点感悟：【例7】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B1，0，C3，0，D3，4以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E1直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；2过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？3在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，
7、在矩形ABCD内包括边界存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值考点感悟：【课后测试】一、选择题：1、以下判断正确的选项是 A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等2、在平面直角坐标系xoy中，A2，2，在y轴上确定点P，使AOP为等到腰三角形，那么符合条件的点P共有 A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个二、填空题：3、在锐角三角形ABC中，BC=，ABC=45，BD平分ABC， M、N分别是BD、BC上的动点，那么C
8、M+MN的最小值是 。4、如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC=，ACB=90，A=30假设RtABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 结果用含有的式子表示三、解答题：5、在矩形ABCD中，点P在AD上，AB2，AP1将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF如图。1当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合如图，求PC的长；2探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止在这个过程中，请你观察、猜测，并解答：的值是否发生变化？请说明理由；直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长。 图
9、 图6、如图1，将菱形纸片ABECDF沿对角线BDEF剪开得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD与ECF叠放在一起。1操作：如图2，将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点HH点不与B点重合。FE交DA于点GG点不与D点重合。求证：BHGD=BF22操作：如图3，ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动F点不与B、D点重合，且CF始终经过A，过点A作AGCE，交FE于点G，连接DG。探究：FD+DG=_。请予证明。 1 (2) (3)学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 局部答案：【例3】
10、解：1图1中与ADE相似的有ABD，ACD，DCE。2BDFCEDDEF，证明如下：B+BDF+BFD=180，EDF+BDF+CDE=180，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=C。BDFCED。BD=CD，即。又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。 3连接AD，过D点作DGEF，DHBF，垂足分别为G，HAB=AC，D是BC的中点，ADBC，BD=BC=6。在RtABD中，AD2=AB2BD2，即AD2=10262，AD=8。SABC=BCAD=128=48，SDEF=SABC=48=12。又ADBD=ABDH，。BDFDEF，DFB=EFD。 DHBF，DGEF，DH
11、F=DGF。又DF=DF，DHFDGFAAS。DH=DG=。SDEF=EFDG=EF=12，EF=5。例3变式：A。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确。 连接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在AOO中，三边长为OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150。故结论正确。故结论错误。如下图，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合，点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5的直角三角形。那么。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。应选A。【例4】解：1BD=CF成立。理由如下：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90。BAD=BACDAC，CAF=DAFDAC，BAD=CAF。在BAD和CAF中，AB=AC，BAD=CAF，BADCAFSAS。BD=CF。2证明：设BG交AC于点MBADCAF已证，
