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1、第七章 习题解答7-1已知下列时间函数，设采样周期为秒，求它们的变换。（a）（b）（c）（d）（e）（f）解：（a）根据域微分定理有（b）因为所以（c）根据时域位移定理有（d）根据复域位移定理有（e）根据复域位移定理有（f）根据复域位移定理有7-2已知的拉氏变换为下列函数，设采样周期为秒，求它们的变换。（a）（b）（c）（d）（e）（f）解：（a）（b）（c）（d）（e）（f）7-3求下列函数的反变换。（a）（b）（c）解：(a) （b）(c)7-4已知时，为如下所示的有理分式则有以及式中时，。（a）试证明上面的结果。（b）设应用（a）的结论求、。解：（a）设显然有以及式中时，。上式即时，。证
2、毕。（b）设应用关系式有7-5试用部分分式法、幂级数法和留数法，求下列函数的反变换。（a）（b）（c）（d）解：（a）部分分式法幂级数法留数法（b）部分分式法幂级数法留数法（c）部分分式法幂级数法留数法（d）部分分式法幂级数法留数法7-6用变换法求下面的差分方程并与用迭代法得到的结果、相比较。解：差分方程两边变换得到即迭代法得到结果是相同的。7-7求传递函数为（a）（b）的部件的脉冲传递函数。解：（a）查表得于是得到（b）查表得于是得到7-8试应用终值定理确定下列函数的终值。（a）（b）解：（a）在单位圆外和单位圆上除点外没有极点，故可以应用终值定理，有（b）在单位圆外和单位圆上没有极点，故可
3、以应用终值定理，有7-9图7.48中为零阶保持器的传递函数，即试证明图7.48 习题7-9图解：证明证毕。7-10一阶保持器的输入输出波形如图7.49所示。在一阶保持器中，当时，输出是前两个采样时刻采样值和外推得到的直线，即图7.49 习题7-10图假设输入是时的单位脉冲函数，绘制一阶保持器的输出波形，求一阶保持器的传递函数。解：假设输入是时的单位脉冲函数，一阶保持器的输出波形如下根据上面给出的单位脉冲输入下一阶保持器的输出波形，得到脉冲响应的表达式为传递函数等于脉冲响应的拉氏变换，即7-11设开环离散系统如图7.50所示，试求开环脉冲传递函数。（a）（b）图7.50 习题7-11图解：对图（
4、a）所示系统，环节间有采样开关，有对图（b）所示系统，环节间没有采样开关，有7-12试求图7.51闭环离散系统的脉冲传递函数或。（a）（b）（c）图7.51 习题7-12图解：对图（a）所示系统有即有两边变换有即化简得到即对图（b）所示系统有即有两边采样有两边变换有化简得到对图（c）所示系统有即有化简得到7-13设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分的传递函数为输入，采样周期秒。试求：（a）输出变换。（b）采样瞬时的输出响应。（c）输出响应的终值。解：（a）查表求得开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为系统输入，输出变换为（b）用综合除法得到（c）从系统响应看出系统不稳定，故无法得到终值
5、。7-14试判断下列系统的稳定性。（a）已知闭环离散系统的特征方程为（b）已知闭环离散系统的特征方程为（c）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期，开环传递函数解：（a）特征方程有单位圆外的根，所以系统不稳定。（b）构造行列的朱利表有，但，故系统临界稳定。（c）系统的开环脉冲函数为系统的特征方程为做变换有出现负的系数，系统不稳定。7-15采样系统如图7.52所示，采样周期秒。图7.52 习题7-15图（a）绘制时系统的闭环根轨迹图，求分离点坐标。（b）根据闭环根轨迹图，求系统稳定时的取值范围。解：（a）采样周期秒，系统的开环脉冲传递函数为实轴上的根轨迹区段为，复平面上的根轨迹为圆，圆心在开环
6、零点，半径为。因此得到分离点坐标为。用MATLAB命令绘制的根轨迹图如下图所示。（b）系统的闭环特征方程为做变换有系统稳定的条件为得到。7-16离散时间系统如图7.53所示，采样周期s。（a）求系统的开环脉冲传递函数（b）求系统稳定时的取值范围。（c）当，时，求系统的稳态误差。图7.53 习题7-16图解：（a）因为故控制算法的脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为（b）系统的闭环特征方程为做变换得到得系统稳定的条件为（C）时，系统的速度误差系数为所以时稳态误差为7-17采样系统如图7.54所示，采样周期秒。图7.54 习题7-17图（a）求闭环脉冲传递函数。（b）设，求使闭环特征根在平面原点
7、时和的取值。（c）求此时系统阶跃响应和稳态误差。解：（a）被控对象的脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为（b）时有令闭环特征方程得，。（c）此时闭环脉冲传递函数为单位阶跃下的响应为故得系统的单位阶跃响应为、，稳态误差。7-18采样系统如图7.55所示，采样周期秒（），求使闭环脉冲传递函数图7.55 习题7-18图解：被控对象的脉冲传递函数为被控对象脉冲传递函数的零点和极点都在单位圆内，所以可以用控制器的极点和零点和它们对消。要使得闭环脉冲传递函数为开环脉冲传递函数应为令得到7-19离散时间控制系统如图7.56所示，其中采样周期，。图7.56 习题7-19图（a）求系统
8、的开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数。（b）确定闭环系统为稳定时的取值范围。（c）求系统的稳态误差。解：（a）系统的开环脉冲传递函数为将代入整理得系统的闭环脉冲传递函数（b）特征方程做变换有要使系统稳定应满足得。（c）根据系统的开环传递函数，有以及于是有7-20已知离散系统如图7.57所示，采样周期秒。当时，要使稳态误差小于，求的值。图7.57 习题7-20图解：系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为特征方程做变换得到系统稳定的条件为即得系统稳定时的取值范围为。系统速度误差系数要使系统的稳态误差应使。综合上述条件得的取值范围为。7-21某离散时间系统如图7.58所示，采样周期秒，控制
9、算法的差分方程描述为。图7.58 习题7-21图（a）求使系统为稳定的的取值范围。（b）求当，时系统的稳态误差。（c）为使系统的阶跃响应是单调无振荡的，的取值范围等于多少？解：（a）因为故控制算法的脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环特征方程为做变换得到得系统稳定的条件为（b）时，系统的速度误差系数为所以时稳态误差为（c） 从变化时，闭环系统的根轨迹的在平面上的部分是一个圆，圆心位于平面的原点，半径为因此，在处是根轨迹的分离点，分离点对应的根增益为得。时，闭环的根在正实轴上单位圆内，这时系统的阶跃响应是单调无振荡的。7-22采样控制系统如图7.59所示，采样周期秒，数字调节器为调节
10、器，即图7.59 习题7-22图（a）试写出被控对象的脉冲传递函数和系统的开环脉冲传递函数。（b）为使成为系统闭环的一对共轭极点，给出应满足的条件。（c）应用（b）中给出的条件求出和的取值。解：（a）被控对象的脉冲传递函数为调节器的脉冲传递函数为系统的开环传递函数为（b）得到期望的闭环极点，应满足的相角条件和幅值条件分别为（c）从相角条件有得，故。将结果代入到幅值条件有得，于是有，。7-23脉冲传递函数分母多项式的阶次与分子多项式的阶次之差称为它的相对阶次。一个离散环节如果它当前拍的输出只是当前拍和过去拍输入，以及过去拍输出的函数，这个环节就称为是因果的。显然，当脉冲传递函数的相对阶数，它代表
11、的环节就是因果的。实际中被控对象的脉冲传递函数都是因果的。在图7.60所示的采样控制系统中，设串联调节器和反馈调节器都是因果的，试证明系统闭环脉冲传递函数的相对阶数总大于等于被控对象的相对阶数。图7.60 习题7-23图解：将脉冲传递函数改写成如下形式式中，和表示的多项式，表示传递函数的相对阶数。将控制器、被控对象、反馈通路的脉冲传递函数都表示成上面的形式，有则闭环脉冲传递函数为显然，闭环脉冲传递函数的相对阶数等于，。7-24采样控制系统如图7.61所示，采样周期秒，试设计数字调节器，实现（a）阶跃输入下的最小拍控制。（b）斜坡输入下的最小拍控制。（c）抛物线输入下的最小拍控制。（d）最小拍设
12、计只适用于被控对象的脉冲传递函数为最小相位的情况，用根轨迹方法解释其原因。图7.61 习题7-24图解：被控对象的脉冲传递函数为它是最小相位脉冲传递函数。（a）阶跃输入下的最小拍控制器为（b）斜坡输入下的最小拍控制器为（c）抛物线输入下的最小拍控制器为（d）如果有不稳定的零、极点之间的对消，对消的零、极点对应退化为一点的闭环根轨迹，即闭环必然有不稳定的特征根，这将导致系统的不稳定。7-25 被控对象环节如图7.62所示。图7.62 习题7-25图（a）试求它的脉冲传递函数。（b）给定采样周期、几组参数值，验证（a）中得到的脉冲传递函数的零点都是在单位圆内的。（c）证明对于任意的、，（b）中的结
13、论总是对的。解：（a）开环脉冲传递函数为查表得（b）略。（c）脉冲传递函数的零点为令则有当时，为型的极限，易得。当时，。此外，还有时即，单调升。所以即零点都在单位圆内。证毕。7-26采样控制系统如图7.63所示，采样周期秒。（a）试设计数字调节器使闭环脉冲传递函数。（b）对（a）中得到的设计，求脉冲传递函数，说明系统响应阶跃输入是有纹波的。（c）重新设计，使系统响应阶跃输入是无纹波的。图7.63 习题7-26图解：对象的脉冲传递函数令系统的闭环脉冲传递函数有（b）到的闭环脉冲传递函数为不是的多项式的形式，响应无法在有限拍内进入稳态，是有纹波系统（c）要实现无纹波设计，因为要使得是的多项式的形式，要求将的所有零点作为它的因子。被控对象有一拍滞后，因此也必以作为它的因子，故设另外，到的闭环脉冲传递函数
