《第6节平面向量及其应用.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第6节平面向量及其应用.doc(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第6节 平面向量及其应用一、知识框架1向量的有关概念及表示: 向量: 向量的长度(模): 零向量、单位向量: 平行向量(共线向量): 相等向量: 相反向量: 与共线的单位向量: 2向量加法与减法的几何运算:(1)加法:_三角形法则:_平行四边形法则:_(2)减法:_3、实数与向量的积:_4、平面向量共线定理:_5、平面向量基本定理:_6、平面向量的坐标运算:_7、数量积定义:(1)_ (2)规定:_8、数量积的坐标表示:若_9、几个重要关系式:(1)_(模方公式)(2)_(夹角公式)(3)为非零向量,(4)若,则_ 二、基础自测1. 设、不共线的已知向量,已知,若A、B、D三点共线,则k的值为
2、 -12三角形ABC中,A(2,1), B(5,2) C(3,4), D是BC的中点,则=(2,2)3. 设和 都是元素为向量的集合,则MN= 4若向量a,b满足|a|1,|b|2且a与b的夹角为,则|ab|_. 25在边长为1的等边ABC中,设 等于_ 6. 设平面上有四个互异的点A.B.C.D,已知,则ABC的形状一定是 等腰三角形三、典型例题例1. 在等边中,点P在线段AB上,满足若则实数的值是_答案:解析:如图:取中点,设则, ,.例2. 在中有如下结论:“若点M为的重心,则”,设a,b,c分别为的内角A,B,C的对边,点M为的重心.如果,则内角A的大小为_;若a3,则的面积为_ 答案
3、:,解析:由又与不共线,则acb,由余弦定理可求得cosA,故A.又SbcsinA33 .例3. 点O为ABC的外心,已知AB =3,AC = 2,若,x + 2y = 1,则cosB = _答案:解析:如图为中点 三点共线,所以例4. 已知平面向量满足,且与的夹角为120,则的取值范围是_答案:(0,解析:如图所示,令、, 则。与的夹角为120,。又,由正弦定理得,即 。又的取值范围是(0, .例5. 如图,在ABC中,ADAB,则 = _答案:解析:如图建系xy 例6. 在ABC中,已知AB = 3,O为ABC的外心,且,则AC = _答案:解析: 例7. 直线与函数的图像相切于点,切,为
4、坐标原点,为图像的极值点,于轴交于点,过切点做轴的垂线,垂足为,则答案:解析:又= (1) 而, (2)由得.例8. 在ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1.(1) 求角A;(2) 若m(0,1),n,试求|mn|的最小值解: (1) 11,即, , cosA. 0A, A.(2) mn(cosB,2cos21)(cosB,cosC), |mn|2cos2Bcos2Ccos2Bcos21sin. A, BC, B.从而2B. 当sin1,即B时,|mn|2取得最小值.所以,|mn|min.例9. 在中,满足:,是中点(1)若,求向量与向量的夹角的余弦值;(2)若是线段上任意一点,
5、且,求的最小值;(3)若点是边上的一点,且,求的最小值.解析:(1)设向量与向量的夹角为,令,(2)设则,而 所以当且仅当时 的最小值是(3)设 所以, 当且仅当时,.四、巩固提升1.已知ABC的外接圆半径为,为圆心且,则 2. ABC中,若则O是ABC的 心 垂CEBA3. 如图,在ABC和AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,若,则与的夹角等于 F4. 在ABC中,D是BC边上任意一点(D与B、C不重合),且,则等于 5. 在ABC中,已知BC=2,,则ABC面积的最大值是 .6. 设ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且(1)求角的大小; (2)若角,边上的中线的长为,求的面积解析:(1),即 则,因为则 (2)由(1)知,所以, 设,则,又 在中由余弦定理得 即 解得故7. 在平行四边形中,已知过点的直线与线段分别相交于点,若 其中,(1)求的值;(2)记的面积为,平行四边形的面积为,试求之值.解析:(1)由题意得所以,又又因为三点共线,得,则(1)(1)式两边平方,得,即解得:(2)由题意得,=即.