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1、第6节 平面向量及其应用一、知识框架1向量的有关概念及表示： 向量： 向量的长度（模）： 零向量、单位向量： 平行向量（共线向量）： 相等向量： 相反向量： 与共线的单位向量： 2向量加法与减法的几何运算：（1）加法：_三角形法则：_平行四边形法则：_（2）减法：_3、实数与向量的积：_4、平面向量共线定理：_5、平面向量基本定理：_6、平面向量的坐标运算：_7、数量积定义：（1）_ （2）规定：_8、数量积的坐标表示：若_9、几个重要关系式：（1）_（模方公式）（2）_（夹角公式）（3）为非零向量，（4）若,则_ 二、基础自测1. 设、不共线的已知向量，已知，若A、B、D三点共线，则k的值为
2、 -12三角形ABC中，A(2,1), B(5,2) C(3,4), D是BC的中点，则=（2，2）3. 设和 都是元素为向量的集合，则MN= 4若向量a，b满足|a|1，|b|2且a与b的夹角为，则|ab|_. 25在边长为1的等边ABC中，设 等于_ 6. 设平面上有四个互异的点A.B.C.D,已知,则ABC的形状一定是 等腰三角形三、典型例题例1. 在等边中，点P在线段AB上，满足若则实数的值是_答案：解析：如图：取中点，设则， ，.例2. 在中有如下结论：“若点M为的重心，则”，设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，点M为的重心.如果，则内角A的大小为_；若a3，则的面积为_ 答案
3、：，解析：由又与不共线，则acb，由余弦定理可求得cosA，故A.又SbcsinA33 .例3. 点O为ABC的外心，已知AB =3，AC = 2，若，x + 2y = 1，则cosB = _答案：解析：如图为中点 三点共线，所以例4. 已知平面向量满足，且与的夹角为120，则的取值范围是_答案：（0，解析：如图所示，令、， 则。与的夹角为120，。又，由正弦定理得，即 。又的取值范围是（0， .例5. 如图，在ABC中，ADAB，则 = _答案：解析：如图建系xy 例6. 在ABC中，已知AB = 3，O为ABC的外心，且，则AC = _答案：解析： 例7. 直线与函数的图像相切于点，切，为
4、坐标原点，为图像的极值点，于轴交于点，过切点做轴的垂线，垂足为，则答案：解析：又= （1） 而， （2）由得.例8. 在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1.(1) 求角A；(2) 若m(0，1)，n，试求|mn|的最小值解： (1) 11，即， ， cosA. 0A， A.(2) mn(cosB,2cos21)(cosB，cosC)， |mn|2cos2Bcos2Ccos2Bcos21sin. A， BC， B.从而2B. 当sin1，即B时，|mn|2取得最小值.所以，|mn|min.例9. 在中，满足：，是中点（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，
5、且，求的最小值；（3）若点是边上的一点，且，求的最小值.解析：（1）设向量与向量的夹角为，令，（2）设则，而 所以当且仅当时 的最小值是（3）设 所以， 当且仅当时，.四、巩固提升1.已知ABC的外接圆半径为，为圆心且，则 2. ABC中，若则O是ABC的 心 垂CEBA3. 如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，若，则与的夹角等于 F4. 在ABC中，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于 5. 在ABC中，已知BC=2，,则ABC面积的最大值是 .6. 设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且（1）求角的大小； （2）若角，边上的中线的长为，求的面积解析：（1），即 则，因为则 （2）由（1）知，所以， 设，则，又 在中由余弦定理得 即 解得故7. 在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点，若 其中，（1）求的值；（2）记的面积为，平行四边形的面积为，试求之值.解析：（1）由题意得所以，又又因为三点共线，得，则（1）（1）式两边平方，得，即解得：（2）由题意得，=即.
