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1、(建议用时：80分钟)1.已知函数f(x)x2ln xax，aR.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)x，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)x2ln xx，f(x).当x(0，1)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)0.(2)由f(x)x，得f(x)xx2ln x(a1)x0.由于x0，所以f(x)x等价于xa1.令g(x)x，则g(x).当x(0，1)时，g(x)0.故g(x)有最小值g(1)1.故a11，aln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)
2、，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)22ln 22a故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0
3、.即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx22ax1.3.已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.(1)解f(x)3x26xa，f(0)a.曲线yf(x)在点(0，2)处的切线方程为yax2.由题设得2，所以a1.(2)证明由(1)知，f(x)x33x2x2.设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由题设知1k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以g(x)0在(，0上有唯一实根.当x0时，令h
4、(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x).h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根.综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.4.(2017衡水中学质检)已知函数f(x).(1)若f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若a0，x01，设直线yg(x)为函数f(x)的图像在xx0处的切线，求证：f(x)g(x).(1)解易知f(x)，由已知得f(x)0对x(，2)恒成立，故x1a对x(，2)恒成立，1a2，
5、a1.(2)证明a0，则f(x).函数f(x)的图像在xx0处的切线方程为yg(x)f(x0)(xx0)f(x0).令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，则h(x)f(x)f(x0).设(x)(1x)ex0(1x0)ex，xR，则(x)ex0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上单调递减，而(x0)0，当x0，当xx0时，(x)0，当x0，当xx0时，h(x)0得x，又x0，2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数
6、M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max.由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立.设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，).6.(2016山东卷)已知f(x)a(xln x)，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时，
7、证明f(x)f(x)对任意的x1，2成立.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0时，f(x)(x)(x).0a1，当x(0，1)或x(，)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)2时，00，f(x)单调递增，当x(，1)时，f(x)0，f(x)单调递减.综上所述，当a0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a2时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.(2)证明由(1)知，a1时，f(x)f(x)xln x(1)xln x1，x1，2，设g(x)xln x，h(x)1，x1，2.则f(x)f(x)g(x)h(x).由g(x)0可得g(x)在1，2上递增，g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号.h(x)，设(x)3x22x6，则(x)在1，2上单调递减，因为(1)1，(2)10，所以x0(1，2)，使(x0)0，所以当x(1，x0)时(x)0，即h(x)0，当x(x0，2)时，(x)0即h(x)g(1)h(2)，即f(x)f(x)对于任意的x1，2成立.
