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1、4.1.1 圆的标准方程（圆的标准方程（1） 通过上一章的学习，我们知道在直角坐标系中，通过上一章的学习，我们知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，那么圆也可以用方程表示吗直线可以用方程表示，那么圆也可以用方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？圆的方程怎样来求呢？初中圆是怎样定义的？初中圆是怎样定义的？阅读教材阅读教材118页并回答下面问题：页并回答下面问题：（1）在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？）在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？（2）如果已知圆的圆心坐标为）如果已知圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为，半径为r，我们如何写出圆的方程？我们如何写出圆的方程？由定义求：圆心是由定义求：
2、圆心是A(a ,b)，半径是，半径是r的圆的方程的圆的方程 .rxAOy 设设M(x,y)是圆上任意一点，是圆上任意一点， 根据定义，点根据定义，点M到圆心到圆心A的的 距距离等于离等于r，所以圆，所以圆A就是集合就是集合 P = M | |MA|=r 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M适适合的条件可表示为：合的条件可表示为：(x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得：把上式两边平方得：(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2圆的定义：圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就
3、是半径。是圆。定点就是圆心，定长就是半径。M.解：解： 若点若点M在圆上，由上述讨论可知，点在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方的坐标满足方程程 ，反之，若点，反之，若点M的坐标满足方程的坐标满足方程 ，这就说明点，这就说明点M与圆心与圆心A的距离为的距离为r，即即M在圆心为在圆心为A的圆上的圆上.方程方程就是圆就是圆心为心为A(a，b)半径为半径为r的圆的方程，我们把它叫做的圆的方程，我们把它叫做圆的标准圆的标准方程方程.rxAOyM. 特点特点: 1.是关于是关于x、y的二元二次方程的二元二次方程; 3. 确定圆的方程必须具备三个独立确定圆的方程必须具备三个独立条件条件,4.若圆心在坐
4、标原点，则圆方程为若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r22. 明确给出了圆心坐标和半径明确给出了圆心坐标和半径.即即 a、b、r .例例1.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程：(1) 圆心在原点，半径是圆心在原点，半径是3； (2) 经过点经过点P(5, 1)，圆心在点，圆心在点C(8, 3). 解：解：(1)由已知得圆的方程为：由已知得圆的方程为：(2)由已知得半径：由已知得半径：即即故所求圆的方程为：故所求圆的方程为： 例例2.已知两点已知两点P1(4, 9)和和P2(6, 3)，求以，求以P1P2为直径的为直径的圆的方程，试判断点圆的方程，试判断点M(6, 9)、N
5、(3，3)、Q(5, 3)是在圆是在圆上，在圆内，还是在圆外？上，在圆内，还是在圆外？ 解：解：由题意得圆心由题意得圆心:即即半径半径:故所求圆的方程为：故所求圆的方程为：M在圆上，在圆上，N在圆外，在圆外，Q在圆内在圆内.结论结论:1.点点M(x0, y0)与圆与圆(xa)2(yb)2r2有三种关系：有三种关系：一般地，一般地，练习：练习：已知一个圆的直径端点是已知一个圆的直径端点是M(x1, y1)、 N(x2, y2)，证明：圆的方程是证明：圆的方程是 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)=0证明：证明：xAOyM.N设设P(x, y)是圆上任意一点，是圆上任意一点，则由则由M,N是
6、直径的端点知是直径的端点知.P即即即为所求圆的方程即为所求圆的方程. 例例3.ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, 3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程.解：解： 设所求圆的方程为：设所求圆的方程为：则由则由A(5, 1)，B(7, 3)，C(2, 8)都在圆上得，都在圆上得，解得解得故故ABC的外接圆的方程是：的外接圆的方程是：xyOABCD 例例3.ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, 3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程.解解2： AB边中点：边中点：AB边斜率
7、：边斜率：AB边中垂线方程：边中垂线方程：即即同样可求得同样可求得AC边中垂线方程：边中垂线方程：解方程组解方程组得得圆心圆心:半径半径:故故ABC的外接圆的方程是：的外接圆的方程是：xyOABCD 变式变式.ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, 3)，C(2, 8)，求它的内切圆的方程，求它的内切圆的方程.xyOABCE法二：法二：三角形的内切圆圆心到三边距离相等三角形的内切圆圆心到三边距离相等，设圆心（，设圆心（a,b),又距离相等建立方程组，又距离相等建立方程组，求出圆心坐标，算出半径求出圆心坐标，算出半径.法一：法一：三角形的内切圆圆心是三条边角平方三角形的内切圆圆心是三条边角平方线交点，写出两条角平分线方程，联立求解线交点，写出两条角平分线方程，联立求解得到内心坐标，算出半径，得到圆的标准方得到内心坐标，算出半径，得到圆的标准方程程. 例例4.已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2,2 )，圆心圆心C在直线在直线l: xy10上，求圆心为上，求圆心为C的圆的标准的圆的标准方程方程.课后作业课后作业2. 优化探究优化探究 4.1.11. 教材第教材第90页页 习题习题4.1 A组组
