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1、例1 (随机徘徊) 无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子从初始位置0点出发，在直线上分别向右或向左走一步。问：抛掷了n次后，粒子恰走到m的概率。 事实上，由于粒子是从初始位置0点出发的，因此，当n|m|时，粒子是不可能走到m的，而“抛掷了n次后，粒子恰走到m”意味着：在n次走动中，恰好向左走了步；而向右走了步此即n次抛掷中恰有次掷得正面；有次掷得反面因此，这就需要m与n同为奇偶数。所求概率为 (当n|m|且m与n同为奇偶数时)，否则概率为0。综上所述，研究一个随机试验，就是要有一个三元组：(，F，P)，它称为概率空间，其中是全体可能结果组成的集合；F是全体可观测事件
2、(可以合理地给出概率的事件)组成的事件族；而P应该看成一个整体，而不是单个概率值，即P是F上定义的一个取值于0，1区间的函数。同时，加法公理应该满足，而且必然事件的概率应该为1。随机过程的定义：研究对象是随时间演变的随机现象。 例1随机相位正弦波X(t)=Acos(t+)，t(，+)；U(0，2)图1例2以X(t)表示电话交换台在时间间隔0，t内接到的呼叫的次数，是一随机过程。例3独立地连续掷一骰子，设为第n次独立地掷一骰子所出现的点数，则为一相互独立同分布的随机序列(过程)，其指标集为T1，2，3，；状态空间为S1，2，3，4，5，6；如果把序列3，2，3，4，6，5，l，3，称为的一条轨道
3、，它表示第1，3，8次掷得“3”点，第2次掷得“2”点，第4次掷得“4”点，第5次掷得“6”点，且此时有均值为E3.5，方差为D()17.5，n1，2，协方差为Cov(，)0，ij定义1设(，F，P)是一个概率空间，一族随机变量称为一个随机过程，其中T称为指标集，对T中的每个t，X(t)是一个随机变量X(t，)，对每个固定的，是一个定义在T上，和X(t)有同样取值范围的实值函数，称之为随机过程X的一条(样本)轨道对所有固定的t，X(t)的全体可能的取值，称为X的状态空间，对离散随机变量的随机过程，状态空间都可认为是正整数集，因为任何可数集与一正整数集是一一对应的把全体状态编号，以其编号代表状态
4、就行了。 我们常常把t解释为时间一般来说，T是一个无限集合，如果它是可数集合，如T0，1，2，此时称X为离散参数的随机过程，或随机序列，当T0，+)或(，+)则称X为连续参数的随机过程。X的全体有限维联合分布族称为X的概率分布。例4在上例中，如果根据每次掷得的点数决定一个粒子在平面格点上作如下运动：如果掷得l，2，3，4点，则分别向上、下、左、右移动1步，如果掷得“5”或“6”，点，则不动。如果粒子从原点(0，0)出发，记在第n步粒子所在位置为(X(n)，y(n)，则我们就得到两个随机过程X(n)；n0，l，以及Y(n)；n0，l，这个随机模型称为2-维随机徘徊。 例5无限制地抛掷一枚硬币，并
5、按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子在直线上分别向右或向左走一步。如果我们要研究，这样走下去，最终随机运动的趋向等问题，就需要将无穷多步粒子各自所在的位置作为一个整体来考虑，找出它取值的统计规律。为此，我们先要考虑无限制地抛掷硬币所得结果这一随机序列，因为它完全决定了粒子的走法。 假设每次抛掷得到正面的概率是p，这个试验的全部可能的结果组成的集合是 (其中“1”表示正面，“0”表示反面)。 于是，我们就有了概率空间(，F，P)若将第n步粒子所在的位置记为Sn，那么，在这里我们就需要研究一连串随机变量之间的动态关系，即同时研究这无穷个随机变量作为整体时，它取值的统计规律。 令 由于随机徘徊是
6、按照硬币的抛掷结果或向右或向左走一步，因此，我们可引入一独立随机变量序列Zn满足 P(Zn1)p， P(Zn1)1p (nl，2，)显然 SnSn1ZnS0十 注意到Zn与2Xn1是同分布的，于是 , 显然，这里的是一列同分布的随机变量序列： P(Xn1)p， P(Xn0)1p (nl，2，) 又因为各次抛掷是独立的，我们有 可见又是相互独立的，所以，是一列相互独立同分布的序列(简记为iid序列) 上述这样的随机序列是一个最简单的随机过程，称之为贝努利序列。我们称的取值范围S0, 1为随机过程的状态空间对每一个固定的，就是一个取值为“0”或“l”的无穷序列，称之为X的一条轨道(或样本轨道)。X
7、的一条典型的样本轨道如图2所示我们称为随机徘徊，它的一条轨道是一个取值为整数的无穷序列，它的状态空间是全体整数它的与图2相对应的一条轨道如图3所示。 图2 图3在例1中，我们已经给出了一个随机变量的概率分布(这里)： (qlp，n1，2，)因为上面的概率就是：n个相互独立的随机事件，(i = l，2，n)中恰好有个发生的概率这是因为要到达状态k，所需的步数n不可能小于| k |，故n| k |。若记：和；分别表示在前n步中正面和反面的出现次数，则显然有 两式相加，可得 因此 注意到必为偶数，因此，若n为偶数，则也为偶数；若n为奇数，则也为奇数。表示n次抛掷中正面恰好出现次的概率，故只有当n|k
8、|且n与k的奇偶性相同时，此概率才为非零，即等于 同理，一般地，对初始状态为的简单随机徘徊，类似可得 例6 对简单随机徘徊，求出经过，n4步，=2的概率。 解 由上式知 下面我们来考察x的最重要的统计特征有限维联合分布，这里我们先讨论简单的情形(2维的情形)，我们要求的概率是在前面我们已经看到：随机徘徊X是一列相互独立的随机变量的部分和序列。于是，它在s个互不相交的区间上的增量分别为 它们各自是s组相互独立的随机变量的和，因此它们也相互独立而且对任意s个互不相交的区间，都有上述的独立性。随机过程的这种性质称为独立增量性。 定义2 设是一个随机过程，如果它在任意s个互不相交的区间上的增量， ，都
9、相互独立，称随机过程X为一个独立增量过程又如果对任意的n0，都有(n0)对一切m同分布，则称X为一个时齐的独立增量过程 显然，简单随机徘徊就是一个时齐的独立增量过程。 对独立增量过程，容易知道有如下的结论： 命题1设是一个独立增量过程，我们增补定义，则全部随机变量， (mn)的概率分布就决定了随机过程X的概率分布如果X还是时齐的，则全部随机变量 (n0)的分布就决定了随机过程X的分布 在物理学中，很多确定性现象遵从如下演变原则：由时刻系统或过程所处的状态，可以决定系统或过程在时刻所处的状态，而无需借助于以前系统或过程所处状态的历史资料。例如，我们考虑一在直线上作对称随机徘徊的粒子，以表示粒子在
10、时刻n时的位置，则其状态空间为Z(全体整数组成的集合)，若在n时刻粒子位于i (即i)，那么，粒子在下一时刻n1，或者以0.5的概率跳到i l，或者以0.5的概率跳到i1在这一模型中，最有趣的现象是：粒子在n1时刻的位置：只依额于它在n时刻的位置，而不依赖于它在n时刻前的位置。这一性质就是所谓的Markov性(这个名字由它的首创者俄国数学家Markov而得名)。具有Markov性的随机过程称为Markov过程，它是一类广泛适用于各种领域的重要的随机过程。定义3一随机过程称为一个离散参数的Markov链，如果，nl，2，3，)，其中S为个有限或可数集合(称为此Markov链的状态空间)，并且对任
11、意的都有 称条件概率为该Markov链的(一步)转移概率；并记为，若与n无关，则称Markov链为齐次的。例7 (随机徘徊) 对简单随机徘徊，其状态空间为S=Z，由的定义其中若为独立同分布随机变量序列，满足，这里表示一个粒子分别以概率p、q向右与向左走一步。前面所讲简单对称随机徘徊就是这里p=0.5的情况。由于都是的部分和，因此，它们和相互独立，故从而：故简单随机徘徊是一齐次Markov链且：例8(两端反射壁的随机徘徊)，在上例中，如果在位置a与b(ab)分别设立一个反射壁，即当粒子到达a与b时，下一步以概率1分别反射到a+1与b-1，于是粒子运动仍然是一Markov链，其它统计规律和例7相同
12、，只是 ，； ， 例74(品牌选择)市场上销售A，B，C，D四种牌子的牙膏根据市场调 查表明，可近似地认为，消费者购买哪一种品牌的牙膏，仅与他前一次购买的 品牌有关，而与这之前购买的品牌无关记xo为某消费者最初所购买的牙膏 的品牌，Xl，x2，分别表示他在这之后各轮所购买的牙膏的品牌，则Ix”，72 0l为一MEm儿ov链，其状态空间为SIA，月，C，D 6，它的转移概率矩阵可 以从市场调查中获得，比如说为 在这个问题中，我们感兴趣的是这四种品牌的牙膏的市场占有率随时间的推 移而发生的变化情况，关于它，我们在以后将作具体的讨论 例7。5 (赌博模型，两端吸收壁随机徘徊) 设某赌徒有赌本i(31
13、)元，其对手有赔本oi0元，每赌一次该赌徒均以夕的概率赢一元，以g1夕的概率输一元赌 博一直到两赌徒中有一人破产才告结束，因此，赢的赌徒最终有总赌资“元， 求该赌徒的破产概率 解 记A为赌徒有赌本i元而最终破产的概率求此概率的关键是给出 下面的事件关系式，其方法称为首步分析法： 、 Aj1有赌本i元而最终破产1 若记B1该赌徒第1次赌赢9，则由上述关系式及全概率公式，我们可得 这是一个差分方程，且它有边界条件 一 加二尸(有赔本0元而最终破产)1 久尸(有赔本。元而最终破产)o 为解(18)，注意到它等价于故当多0且夕乒十时，有 令z，“，则可求得 从而得到：当夕o且多，E专(即户，6g)时 当户g音时，由(19)式，我们有第l章中所讲的赌徒破产问 题也可归结为一M比奴)v链问题来研究假如一赌徒在每局赌博中，赢1元概 率为夕，而输l元的概率为g1入一旦该赌徒输光或他的赌金变为N元 时，他就退出赌博设X”为该赌徒在n时刻时的赌金，那么，容易验证1xg，n 01是一齐次Markov链，它的状态空间为510，l，2，Nl，N1，其转 移概率为状态0和N有特殊的含义，一旦进入这两个状态后，再也不能从这些状态中出
