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1、一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】一. 本周教学内容： 一元二次方程的根与系数的关系学习目标 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）； 2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。 3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力； 4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。 5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。二. 重点、难点： 1. 教学重点： 一元二次方程根与系数关系及其推导和应用
2、，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。 2. 教学难点： 正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。【典型例题】 例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。 分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。 解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为x，则 点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。 例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值： （1）；（2）；（3）
3、分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。 解：由已知，根据韦达定理 （1） （2） （3） 点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。 例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。 分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。 解：由题意，为的两个不等实根 因而有 又 点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。 例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。 解：（解法一）设方程两根、，方程的两根，则有： 由 当时，代入 当时，由 代入 则 代入 把代入中， 或 （解法二）将与相减得： 此时
4、方程根为0或，即题中两方程相同根为0或 （1）若是0则； （2）若是，则； 或 点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。 例5. 已知方程 （1）若方程两根之差为5，求k。 （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。 分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。 解：（1）设方程两根与，由韦达定理知： 又 （2）设方程两根，由根系关系知： 点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。 例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。 分析：必用判别式，又韦达定理知，
5、显然可求a、b。 解：设已知方程的两根为m，3m 由韦达定理知： 即 把代入 得： 点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。 例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。 （1）用含m的代数式表示； （2）当时，求m的值。 分析：应注意，即可用根系关系。 解：（1）由题意： （2）由（1）得： 解得： 检验：当时，原方程无实根。 舍去 当时，原方程有实根。 点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。 例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。 分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。 解：设所求一元二次方程为 为方程
6、的两根 由韦达定理 又 所求一元二次方程为 即： 点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程。总结扩展 1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。 2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。 3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；
7、（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程 4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题。 1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（ ） A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2 2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 方程的大根与小根之
8、差等于（ ） A. B. C. 1 D. 6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题。 7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m_。 8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是_。 9. 已知方程的两根，且，则_。 10. 已知是方程的两根，不解方程可得：_，_，_。 11. 已知，则以为根的一元二次方程是_。三. 解答题。 12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。 13. 已知方程的两根不解方程，求和的值。 14. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。 15. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数
9、和等于3，试求m的值。【试题答案】一. 选择题。1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B二. 填空题。 7. 8. 设，则 9. 或 时，原方程0，故舍去， 10. 11. 由此 或 或 所求方程或三. 解答题。 12. 解：设方程的一个根为x，另一根2x 由根系关系知： 解得： 13. 解：由题设条件 14. 解：由题意 即 故所求方程是，即 15. 解： 由 由 不符合题意，舍去 【励志故事】果断有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。当他托着鸟巢走到家门口的时候，他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是，他轻轻地把小麻雀放在门口，急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。小男孩兴奋地跑到门口，不料小麻雀已经不见了，他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。小男孩为此伤心了很久。但从此他也记住了一个教训：只要是自己认定的事情，决不可优柔寡断。这个小男孩长大后成就了一番事业，他就是华裔电脑名人王安博士。
