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1、5.1.1 基本矩阵运算元-我们在第二章已说明过 MATLAB 的运算是以阵列(array)及矩阵 (matrix) 方式在做运算，而这二者在MATLAB的 基本运算性质不同，阵列强调元素对元素的运算，而矩阵则采用线性代数的运算方式。我们就来说明矩阵运算 的特点。 以下将阵列及矩阵的运算符号及其意义列出 阵列运算符号 矩阵运算符号 功能 + + 加 - - 减 .* * 乘 ./ / 左除 . 右除 . 次方 . 转置 利用这些运算符号即可进行以下的矩阵运算。 A=2 5 1; 7 3 8; 4 5 21; 16 13 0; A % A的转置矩阵 A = 2 7 4 16 5 3 5 13 1
2、 8 21 0 A=4 -1 3; B=-2 5 2; dot_prod = sum(A.*B) % 二个阵列做内积 dot_prod = -7 c=dot(A,B) % 以dot函数也可做内积运算 c = -7 A=4; -1; 3; dot_prod = sum(A.*B); % 如果A是行阵列则先做转置，再做内积 F=2 5 -1; G=0 1 -3; out_prod=F*G; % 二矩阵做外积 A=2,5,1; 0,3,-1; B=1,0,2; -1,4,-2; 5,2,1; C=A*B % 矩阵相乘，注意二个矩阵的大小须相容 C = 2 22 -5 -8 10 -7 A=2 1;
3、4 3; A2 % 矩阵次方 ans = 4 1 16 95.1.2 矩阵多项式-函数polyvalm是以矩阵方式做多项式函数计算，有别于polyval是以阵列方式计算函数值。它的语法为 polyvalm(a,X)，其中X为一矩阵而a则是一多项式。以下的例子可说明其用法。 X=1 1 1; 2 2 2; 3 3 3; a=1 1 1; % 注意a=X*X+X+I f=polyvalm(a,X) f = 8 7 7 14 15 14 21 21 22 5.3.1 反矩阵、矩阵秩与行列式-一个正方矩阵A的反矩阵的定义是，所以此二矩阵相乘不论是或，结果皆为单位矩阵。但是一 矩阵如果是奇异(singu
4、lar) 或是条件不足 (ill-conditioned)，其反矩阵并不存在。条件不足的矩阵与一组联立方程 组其中的方程式并不独立有关，而一矩阵的秩(rank) 即是代表矩阵中独立方程式个数。如果一矩阵的秩数和 其矩阵的列数相等，则此矩阵为非奇异且其反矩阵存在。 MATLAB的反矩阵函数和秩函数语法分别为inv(A), rank(A)，：例如： A=2 1; 4 3; rank(A) 2 % 表示A秩数为2且等于矩阵的列数 inv(A) % 反矩阵 ans = 1.5000 -0.5000 -2.0000 1.0000 B=2 1; 3 2; 4 5; % B为奇异矩阵 rank(B) ans
5、 = 2 % 表示B秩数为2，但是其列数为3 inv(B) ? Error using = inv Matrix must be square. 相信大家都会计算矩阵行列式的值，但是如一矩阵大小超过4以上，行列式值的计算就会繁复。MATLAB提供 计算行列式的函数，其语法为det(A)，例如： A=1 3 0; -1 5 2; 1 2 1; det(A) % 矩阵之行列式值 ans = 10沪p算就会繁复。MATLAB提供 计算行列式的函数，其语法为det(A)，例如： A=1 3 0; -1 5 2; 1 2 1; det(A) % 矩阵之行列式值 ans = 105.3.2 特徵值与特徵向
6、量-假设 A为一个 矩阵，而 X 为一个有n列的栏向量，为一纯量。考虑以下的数学式 如果X由不为零的元素所组成，其中要满足上式称为矩阵A的特徵值(eigenvalue)，而X称为矩阵A的特徵向量 (eigenvector)。特徵向量代表一个正规正交(orthonormal) 的向量组，所谓的正规正交向量，是指这向量与自身做 内积的值为一单位向量；在几何关系上是指二量相互垂直且此其内积值再做正规化(normalization)。上式也可改写为 其中 I 为单位矩阵。 则eigenvalue可以用特徵方程式计算 上述的二次方程式可求解二个根分别为，这二个值即为A的特徵值。而A的特徵向量求法如下 ，
7、分别将任一特徵值代入。例如 另一个特徵值代入，可以得到另一个特徵向量为。我们可找到无限多个向量，满足上述的 特徵向量，例如 因此要得到唯一的特徵向量，即是正交(orthonormal)特徵向量组Q，利用其特性 求解上式可得。所以对应的正交特徵向量组Q为 在上述例子中，矩阵A很简单大小为，可以用手做演算。一但矩阵大小增加，以MATLAB内建函数做运 算，就很轻松。相关函数的语法为eig(A)，得到一栏向量代表A的特徵值；而Q,d=eig(A)，其中Q代表A的特徵 向量，d为一对角矩阵其元素代表A的特徵值。 在此示范上述例子 A = 0.5 0.25; 0.25 0.5; Q,d = eig(A)
8、 Q = 0.7071 0.7071 -0.7071 0.7071 d = % 注意在对角线上的值才是特徵值 0.2500 0 0 0.7500 Q*Q % Q*Q=I ans= 1 0 0 1 A*Q(:,1); 0.25* Q(:,1) % 验证，注意X=Q(:,1) 为第一个特徵向量 ans = % 为A*X的结果 0.1768 -0.1768 ans = % 为的结果 0.1768 -0.17685.3.3 矩阵分解-矩阵分解 (decomposition, factorization)是多半将矩阵拆解为数个三角形矩阵(triangular matrix)，依使用目的的不同 ，可分为三
9、种矩阵分解法：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分 解法 (Singular Value Decompostion)。(1) 三角分解法三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原
10、矩阵。 我们举以下二个矩阵为例： 利用三角分解法可将A和B二矩阵分别拆解为上下三角形矩阵 注意B分解的矩阵得到的第一个矩阵LB是排列的下三角形矩阵，如果第二、三列互换，则此变成完全的下 三角形矩阵。 以MATLAB函数计算上述的LU分解法，其语法为L,U=lu(A)，其中L代表下三角形矩阵U代表上三角形矩阵。 我们来看一个例子。 A = 1 2 -1, -2 -5 3; -1 -3 0; B=1 3 2; -2 -6 1; 2 5 7; L1,U1 = lu(A); L2,U2 = lu(B); L1; U1 L1 = % 注意这个矩阵L1和之前的LA不相同 -0.5 1 0 1 0 0 0.
11、5 1 1 U1 = % 注意这个矩阵U1和之前的UA不相同 -2 -5 3 0 -0.5 0.5 0 0 -2 L2; U2 L2 = % 注意这个矩阵L2和之前的LB不相同 -0.5 0 1 1 0 0 -1 1 0 U2 = % 注意这个矩阵U2和之前的UB不相同 -2 -6 1 0 -1 8 0 0 2.5(2) QR分解法QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵。还记得先前我们介绍的正规正交矩阵Q满足的条件吗！所以称为QR分解法与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。 MATLAB以qr函数来执行QR分解法， 其语法为Q,R=qr(A)，其中Q代表正规正交矩阵，而R代表上三角
12、形矩 阵。此外，原矩阵A不必为正方矩阵；如果矩阵A大小为，则矩阵Q大小为，矩阵R大小为。 (3) 奇异值分解法 奇异值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。U,S,V=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同者， 原矩阵A不必为正方矩阵。 使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。6.1 利用矩阵解法-假设一组联立线性方程式为 我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 AX=B 其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 要解上述的联立方程式，我们可以利用在第六章介绍的矩阵左除 做运算，即是 X=AB。 如果将原方程式改写成 XA=B，且令 X, A 和 B 分别为 注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是 X=B*inv(A)。 我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： A=3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1; % 将等
