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1、反比例函数知识点归纳和典型例题(一)反比例函数的概念1()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;2()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点(二)反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称)(三)反比例函数及其图象的性质1函数解析式:()2自变量的取值范围:3图象:(1)图象的形状:双曲线 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直越小,图象的弯曲度越大(2)图象的位置和
2、性质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时,图象的两支分别位于一、三象限; 在每个象限内,y随x的增大而减小;当时,图象的两支分别位于二、四象限; 在每个象限内,y随x的增大而增大(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(,)在双曲线的另一支上 图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上, 则(,)和(,)在双曲线的另一支上4k的几何意义如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PAx轴于A点,PBy轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是)如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QCP
3、A的延长线于C,则有三角形PQC的面积为 图1 图25说明:(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称(四)充分利用数形结合的思想解决问题例题分析1反比例函数的概念(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是( )Ay=3x B C3xy=1 D(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是( )AB CD2图象和性质(1)已知函数是反比例函数,若它的图象在第二、四象限内,那么k=_若y随x的增大而减小,那么k=_(2)已知一次函数y=ax+b的图象经
4、过第一、二、四象限,则函数的图象位于第_象限(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_象限(4)已知ab0,点P(a,b)在反比例函数的图象上, 则直线不经过的象限是( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点, 则一次函数y=kx+m的图象经过( )A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限(6)已知函数和(k0),它们在同一坐标系内的图象大致是( ) A B C D3函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,且,则的值为( )A正数 B负数 C非正数 D非负数(2)在函
5、数(a为常数)的图象上有三个点,则函数值、的大小关系是( )A B C D(3)下列四个函数中:; y随x的增大而减小的函数有( )A0个 B1个 C2个 D3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而_ (填“增大”或“减小”)4解析式的确定(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的( )A正比例函数 B反比例函数C一次函数D不能确定(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 (2,m),则m=_,k=_,它们的另一个交点为_(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值(4)
6、已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P (x0,3)求x0的值;求一次函数和反比例函数的解析式5面积计算(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、,则( )ABCD 第(1)题图 第(2)题图(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC/y轴,BC/x轴,ABC的面积S,则( )AS=1 B1S2 CS=2 DS2(3)如图,RtAOB的顶点A在双曲线上,且SAOB=3,求m的值 第(3)题图 第(4)题图(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x
7、在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小(5) 如图,正比例函数y=kx(k0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若ABC面积为S,则S=_ 第(5)题图 第(6)题图(6)如图在RtABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,ABx轴于B且SABO=求这两个函数的解析式;求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和AOC的面积(7)如
8、图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在函数(k0,x0)的图象上,点P (m,n)是函数(k0,x0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S 求B点坐标和k的值; 当时,求点P的坐标; 写出S关于m的函数关系式6综合应用(1)若函数y=k1x(k10)和函数(k2 0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2()A互为倒数 B符号相同 C绝对值相等 D符号相反(2)一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A(,1),B(1,n) 求反比例函数和一次函数的解析式; 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围(3)如图所示,已知一次函数(k0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1 求点A、B、D的坐标; 求一次函数和反比例函数的解析式(4)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点) 利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值; 双曲线上是否存在一点P,使得POC和POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由(5)不解方程,判断下列方程解的个数; 1