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1、中深教育数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式: 2、等比数列求和公式: 例1 已知,求的前n项和.解:由由等比数列求和公式得: = 1二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列anbn的前n项和,其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和:解:由题可知,的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积:设(设制错位)得 (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:。 例4 求数列前n项的和.解:由题可知,的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 得 三、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若
2、将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例7 求数列的前n项和:,解:设将其每一项拆开再重新组合得(分组)当a1时,(分组求和)当时,四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:(1) (2)(3)(4)例9 求数列的前n项和.解:设,则 例10 在数列an中,又,求数列bn的前n项的和.解: 数列bn的前n项和: 例14 在各项均为正数的等比数列中,若的值。解:设由等比数列的性质 和对数的运算性质 得: 10五、利用数列
3、的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法. 例15 求之和.解:由于 数列求和练习1、(东莞市2015届高三)数列的前n项和为,数列是首项为a1,公差不为零的等差数列,且成等比数列(1)求的值;(2)求数列 的通项公式;(3)求证:2(惠州市2015届高三)已知递增等差数列中的是函数的两个零点数列满足,点在直线上,其中是数列的前项和(1)求数列和的通项公式;(2)令,求数列的前n项和3、已知等比数列的前项和为,且,成等差数列求数列的通项公式;设数列满足,求适合方程的正整数的值4、(要用放缩法)已知数列的
4、前项和为,若(),且.() 求证:数列为等差数列;() 设,数列的前项和为,证明:().数列求和练习答案1、(东莞市2015届高三)数列的前n项和为,数列是首项为a1,公差不为零的等差数列,且成等比数列(1)求的值;(2)求数列 的通项公式;(3)求证:解:(1),当时,解得;当时,解得;当时,解得 3分(2)当时, 5分得又,数列是以2为首项,公比为2的等比数列,所以数列的通项公式为 7分,设公差为,则由成等比数列,得, 解得(舍去)或, 所以数列的通项公式为 (3)令, 11分两式式相减得, , 又,故2(惠州市2015届高三)已知递增等差数列中的是函数的两个零点数列满足,点在直线上,其中
5、是数列的前项和(1)求数列和的通项公式;(2)令,求数列的前n项和【解析】(1)因为,是函数的两个零点,则 ,解得:或.2分 又等差数列递增,则,所以 .4分因为点在直线上,则。当时,即.5分当时, ,即.6分所以数列为首项为,公比为的等比数列,即.7分(2)由(1)知:且, .8分则 .9分所以 . 10分-得: .12分所以. 或写 . 14分3、已知等比数列的前项和为,且,成等差数列求数列的通项公式;设数列满足,求适合方程的正整数的值1、解:(1)设数列的公比为,由,得由,成等差数列,故,所以,得,故.2分解得,或(舍).4分所以;6分(2)由(1)得,故,8分所以.9分.11分由题意得. 13分解得,满足题意得. 14分4、(要用放缩法)() 由题设,则,.当时,,两式相减得, 2分方法一:由,得,且.则数列是常数列,即,也即 6分所以数列是首项为,公差为的等差数列 7分方法二:由,得,两式相减得,且 6所以数列等差数列. 7分 () 由()得,9分当时,成立;10分当时,12分所以 综上所述,命题得证.14分8