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1、第一章 空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相 ，其余各面都是 ，且每相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是 ；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的 。（2）棱锥定义：有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的几何体.分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面 ，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的 。（3）棱台：
2、定义：用 的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分.分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱台、四棱台、五棱台等几何特征：上下底面是相似的 侧面是 侧棱交于原棱锥的顶 （4）圆柱：定义：以矩形的 为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的 ；母线与轴 ；轴与底面圆的半径 ；侧面展开图是一个 。（5）圆锥：定义：以直角三角形的 为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个 ；母线交于圆锥的 ；侧面展开图是一个 。（6）圆台：定义：用一个 的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（
3、7）球体：定义：以半圆的 为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是 ；球面上任意一点到球心的距离等于 。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的 正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与轴平行的线段仍然与平行且长度 ；原来与轴平行的线段仍然与平行，长度为原来的 。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）
4、 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 第二章 点、直线、平面之间的位置关系1、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母 表示，如平面（通常写在一个锐角内）；也可以用 的字母来表示，如平面BC。 点与平面的关系：点A在平面内，记作 ；点不在平面内，记作 点与直线的关系：点A的直线上，记作： ；点A在直线l外，记作 ；直线与平面的关系：直线l在平面内，记作 ；直线l不在平面内，记作 （2）公理1：如果一条直线 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示
5、公理1： （3）公理2：经过 的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个 ,那么它们有且只有一条过该点的 。符号：平面和相交，交线是，记作。符号语言： 。公理3的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 （6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的
6、两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线判定：过平面 与平面 的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点，分别引直线aa，bb，则把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是 ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线 。（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边 ，那么这两角 。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点直线不在平面内（或直线在平面外）相交只有一个公共点；平行没有公共点。三种位置关系的符号表示： 、 、 。（9）平面与平面之间的位置关
7、系：平行没有公共点；符号 相交有一条公共直线。符号 5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外 与此平面内 平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和 平行。线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的 直线都 于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应 ，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面 ，两个平面平行的性质定
8、理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面 。（面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线 。（面面平行线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是 ，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线 ，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面 。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的
9、两条 都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线 。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相 。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的 的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题（1）直线与直线所成的角的范围 （2）直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的 所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角。平面的平行线与平面所成的角：规定为。平面的垂线与平面所成的角：规定为。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。（3）二面角和二面角的平面角二面角的
10、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个 分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角： 的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：轴 与直线
11、之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是 。（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的 叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为；(2)k与、的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，直线的方程是。当直
12、线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是。斜截式： ， 直线斜率为k，直线在y轴上的截距为两点式： （）直线两点，截矩式： 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式： （A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系： （二）过定点的直线系（1）斜率为k的直线系：，直线过定点；（2）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时， ； 。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则
