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1、第08讲 简单列举教学目标l 用列举解决简单实际问题，能不重复、不遗漏的找到符合要求的答案。 l 发展学生思维的条理性和严密性。知识梳理 养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿,边拿边数筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了，这种计数的方法就是枚举法。一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。典例分析 例1、从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？【解析】为了帮助
2、理解题意，我们可以画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走路有4种不同走法，走路有4种不同走法，走路也有4种不同走法，共有43=12种不同走法。例2、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？【解析】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。 可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号； 绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号； 黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号， 因而共有3个2种不同排列方法，即23=6种。例3、一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是
3、整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？【解析】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。 下面列举出符合这个条件的各种长方形： 这个长方形的面积共有5种可能。例4、有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？【解析】把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了34=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是342=6次
4、。例5、一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？【解析】我们可以利用列举的方法：如果起点站是1.那么终点站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或10；如果起点站是3.那么终点站只能是9或10；如果起点站是4，终点站只能是10；如果起点站是5、6时，就找不到与它至少相隔5站的终点站了；如果起点站是7，终点站只能是1；如果起点站是8，那么终点站是2或1；如果起点站是9，那么终点站是3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、2或1。所以，起点到终点至少相隔5个车站的车票有：4321001234=
5、20种。例6、有一张5元、4张2元和8张1元的人民币，从中取出9元钱，共有多少种不同的取法？【解析】如果不按一定的顺序去思考，就可能出现遗漏或重复的取法。因此，我们可以按照从大到小、从少到多的顺序，先排5元的，再排2元的，最后排1元的，把可以组成9元的情况一一列举出来。 从上面的列举中可以看出：取9元钱共有7种不同的取法。例7、有1、2、3、4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成多少个奇数？【解析】要组成的数是奇数，它的个位上应该是1或者3。当个位是1时，把能组成的三位数一一列举出来：321，421，231，431，241，341共6个；同样，个位是3的三位数也是6个，一共能组成6
6、2=12个。例8、在一张圆形纸片中画10条直线，最多能把它分成多少小块？【解析】我们把所画直线的条数和分成的块数列成表进行分析： 112310=56（块）例9、有一张长方形的周长是200厘米，且长和宽都是整数。问：当长和宽是多少时它的面积最大？当长和宽是多少时，它的面积最小？【解析】因为长方形的周长200厘米，所以，长方形的长宽=100厘米。由于长和宽都是整数，我们可以举例观察。可以看出：当长与宽都是50厘米时，它的面积最大；当长与宽的差最大，即长99厘米，宽1厘米时，面积最小。例10、从1到400的自然数中，数字“2”出现了多少次？【解析】在1400这400个数中，“2”可能出现在个位、十位
7、或百位上。（1）“2”在个位上：2、12、22、92；102、112、122、192；202、212、222、292；302、312、392。共：104=40（次）（2）“2”在十位上：20、21、29；120、121、129；220、221、229；320、321、329。共104=40（次）（3）“2”在百位上：从200到299共100次。所以，数字“2”出现了104100=180（次）。实战演练 课堂狙击 1、在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次？【解析】采用枚举法，并分类计算： “3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个； “3”在十位上
8、：31，33，35，37，39共5个； 数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数：15次.2、在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个？【解析】枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.3、一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：这个长方形的面积有多少可能值？面积最大的长方形的长和宽是多少？【解析】这个长方形的长和宽之和是222=11（米），面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米。长方形周长一定，长和宽越接近，面积越大。这是有名的“等周问题”的特例.：4、一个学
9、生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不同的方案？【解析】请看树形图.可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是：ABABA ACABAABACA ACACAABCBA ACBCA.5、下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点.行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法？【解析】经过E点的有3条路线，不经过E点的有2条路线，共有5条不同的路线，见下图. 课后反击1、下图中有多少个正方形？【解析】根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。第1
10、类：由1个小正方形组成的正方形有24个；第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；第3类：由9个小正方形组成的正方形有 4个；第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。24+13+4+1=42 图中有42个正方形。2、在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？【解析】根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505，550；第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101，110，200；第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510，501，150，105，600。可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，55
11、0，600共10个三位数。3、用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？【解析】根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：第1类：百位上的数字为7，有789，798；第2类：百位上的数字为8，有879，897；第3类：百位上的数字为9，有978，987。可以组成789，798，879，897，978，987共6个三位数。4、往返于宁波和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？【解析】我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类（注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪）：在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在
12、起点站的不同分成4类。第1类：从宁出发：宁 常，宁 锡，宁 苏，宁 沪，4种；第2类：从常出发：常 锡，常 苏，常 沪，3种；第3类：从锡出发：锡 苏，锡 沪，2种；第4类：从苏出发：苏 沪，1种。 我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，它的种数与第一大类完全相同。 （4+3+2+1）2=20（种） 铁路部门要准备20种车票。5、五个学生友1，友2，友3，友4，友5一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式？【解析】数一数，共有11种不同的错拿方式.直击赛
13、场 1、三个连续自然数，由小至大依次分别能被7、10、13 整除，那么，所有这样的三个自然数组中，最小的一组是多少？ (2012年第三届启智杯)【解析】若三个连续自然数，由小至大依次分别能被7、10、13整除，设三个连续自然数分别为n-2，n-1，由于n-1是10的倍数，所以末尾为0，n-2末尾为9，n末尾为1，先看n=13*m，那么m=1,2,3,4,.? n=13,23,39,.，由于n末尾为1，所以m=7,17,27,37，并满足n-2末尾为9，且n-2能被7整除。枚举发现只有当m=47时满足最小的条件，即n=611，n-1=610，n-2=609.名师点拨 用列举法解题时需要掌握以下三点：1. 列举时应注意有条理的列举，不能杂乱无章地罗列；2. 根据题意，按范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏；3. 排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是
