《空间几何体的表面积和体积球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间几何体的表面积和体积球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式及其应用（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间几何体的表面积和体积球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式及其应用. 课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。三. 命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已 知面积或体积求某些元素的量或 元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的 位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、 性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体 求积问 题转化为基本几何体的求积问题，会用体积转化求解问题，会把立体问题转化为 平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测 2008 年高考有以下特
2、色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求 积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多 面体和旋转体中某些元素有关的计算 问题；教学过 程一）基本知识要点回顾1. 多面体的面积和体积公式名称侧面积（S丿全面积（S）A棱棱柱直截面周长x l柱直棱柱ChS +2S侧底棱棱锥各侧面面积之 和锥正棱锥12 chS +S侧底体积（V）S h=S h底直截面S h底棱棱台各侧面面积之 和台正棱台1S +S +S侧上底下底2 (c+c)h13h （S +S上底 下底+ J呂上底用下底）表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜 高， l 表示侧棱长。
3、2. 旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S/mil2n rln rln (r +r)1侧S全2n r (1+r)n r (1+r)1 2n (r +r)1+n1 2(r2 +r2)4n R2Vn r2h (即n r21)13 n r2h13 n h (r2 +r r +r2)112 243 n R3表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r、r分12 别表示圆台上、下底面半径， R 表示半径。【典型例题】例1. 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线 长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、 ycm、 zcm、 lcm2(
4、xy+yz +zx) = 20依题意得：4(x + jy +z)二 24由(2) 2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 (3) 由(3)(1)得 x2+y2+z2=16即 l2=16所以 l=4( cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、 长方体的表面积多被考查。我们平常的 学习中要多建立一些重要的几何要素(对 角线、内切)与面积、体积之间的关系。例 2. 如图所示，在平行六面体 ABCDA B C D 中，已知 AB=5，AD=4，AA =3 ，1 1 1 1 1；TAB丄AD,ZAAB二ZAAD=3 。11(1) 求证：顶点A在底面ABCD
5、上的射影O在ZBAD的平分线上；1(2) 求这个平行六面体的体积。解：(1)如图，连结AO，贝U AO丄底面ABCD。作0M丄AB交AB于M,作ON 丄AD交AD于N,连结AM, An。由线面垂直得AM丄AB, ANADOVZAAM=Z 1 1 1 1 1AAN,1RtA ANA9R tA AMA,AAM=AN,1 1 1 1从而 OM=ON。点O在ZBAD的平分线上。13(2)TAM二AA cos 3 二3 X 2 = 21AM AO=cos 499又在 RtAAOA 中，A O2=AA 2 - A02=9=21 1 12，平行六面体的体积为心琴=说。1点评：垂直问题的证明和柱体的体积公式的
6、应用。例3. （2000全国，3） 个长方体共一顶点的三个面的面积分别是麗忌汞, 这个长 方体对角线的长是（ ）A. 2 羽B. 3 罷C.6D.汞解：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1, b二血，戶朽，贝q对角线l的长为1=;答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、 体积的几何要素 棱长。例 4. 如图，三棱柱 ABCABC 中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EBC将三棱柱分成体积为v、厂|111解：设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V +V =Sh。12E、F分别为AB、AC的中点，S =AS,AEF（s+Ns+）=12 ShV 二Sh-
7、V 二Tish,21V : V=7 ： 5。12点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素 之间的对应关系。最后用统一的量建 立比值得到结论即可。例 5. （2002 京皖春文，19）在三棱锥SABC 中，ZSAB=ZSAC二ZACB=90 , 且 AC=BC=5, SB=U。（如图 所示）（I）证明：SCIBC；解析：（I）证明：VZSAB=ZSAC=90 ,.SA丄AB, SA丄AC。又 ABn AC=A,SA丄平面ABC,SA丄BC。由于ZACB=90。，即BC丄AC,BC丄平面ASC,得BC丄SC。(II)解：在 RtA SAC 中，. SA= SC2-AC2
8、= 7102 - 52 =届25S =2 AC BC= 2 X 5 X 5= 2 ABCSABCSACB点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须 具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑 推理。例 6. ABCD 是边长为 4 的正方形， E、F 分别是 AB、AD 的中点， GB 垂直于正方 形ABCD所在的平面，且GC = 2，求点B到平面EFC的距离？解：如图，取EF的中点O连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B EFG。GELL - X 4 血=3 罷设点B到平面EFG的距离为h，BD=，EF ，CO= 4GO = -JC02 +GC2 =+2? = 71S + 4
9、 二屁而GC丄平面ABCD，且GC = 2。由、站二%沁,得存F9小韦耳咙GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。 构造以点B为顶点，AEFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱 锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。（等体积法）例7. （2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的 内切球（与四个面都相切 的球）球心O且 与BC，DC分别截于E、F,如果截 面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥A EFC的表面 积分别是Si，S2,则必有（）A. S SC. S=S D. S，S的大小关系不
10、能确定解：连 OA、 OB、 OC、 OD，则 V =V +V +V +VABEFDOABDOABEOBEFDO-ADFV =V +V +V 又 V =VAEFCOAFCOAECOEFCABEFDAEFC故 S +S +S +S SABD ABE BEFD ADF AFC而每个锥体的高都是原四面体的内切球的半径+ S +S又面AEF公共，故选CAEC EFC点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图 形与空间几何体之间元素间的对应关系。例8.（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S,中截面的面积是 S ，那么（ ）0A.
11、 2応=用 +何 b. % =c. 2S S+SD. S2 2SS00（2）（1994全国， 7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和4，高为 2，则其体积为（ ）A. 32、衣C.B. 28D. 20 血解：（1）设该棱台为正棱台来解即可，答案为 A；（2）正六棱台上下底面面积分别为：S =6 上42戶揷,S下=6 4 42=24 屈,V答案B。点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法” 来解，此种解法在解选择题时很普遍， 如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特 殊图形等等。例 9. （2000 全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱 的全面积与侧
12、面积的比是（ ）1 + 2汀A. 2打1 + 4ttB. 4打1 + 2汀C. 汀D.1 + 47T解：设圆柱的底面半径为r高为h,则由题设知h=2 r.S =2n r2+（2n r）2=2n r2 （l+2n）. S =h2=4n 2口， 全侧佻 _ 1 + 2jt。答案为A。点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。例10.（2003京春理13,文14）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r,则解：水面高度升高r,则圆柱体积增加 R2 r。恰好是半径为r的实心铁球R 2-73的体积，因此有3 n r3=n Rzr。故f
13、3 。答案为3。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。例 11.（1） （2002 京皖春，7）在AABC 中，AB=2, BC=1.5,ZABC=120（如图所示），若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）bJ ndJ n（2） （2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为羽, 则这个 圆锥的全面积是（ ）C. 6A. 3nnD. 9n解：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥CADE与圆锥BADE体积之 差，又T求得AB=1。厂沁一严”詣一”31*(2)S= 2 absin。,2 a2sin60a2 = 4, a=2, a=
14、2r,Ar=1，S 全=2n r+n 2n +n =3n 答案 A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的 处理能力是空间想象力深化的标志, 是高考从深层上考查空间想象能力的主要 方向。例12.已知过球面上且EU三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB = BC = CA = 2，求球的表面积。解：设截面圆心为,连结0乂，设球半径为应,在 RlAOfOA 中，OA2 = 0-002,E = AnP?点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例13.如图所示，球面上有四个点P、A、B、C,如果PA, PB, PC两两互相垂 直，且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。解：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r圆心为O
