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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，
2、那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题（1）的值为(A) (B) (C) (D) 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解：，故选择A。(2)设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集，则集合中的元素共有(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个【解析】本小题考查集合的运算，基础题。（同理1）解：，故选A。也可用摩根定律：（3）不等式的解集为（A） （B）（C） （D）【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解：，故选择D。（4）已知tan=4,cot=,则t
3、an(a+)=(A) (B) (C) (D) 【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题，故选择B。（5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（A） （B）2 （C） （D）【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C。（6）已知函数的反函数为，则（A）0 （B）1 （C）2 （D）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令得，即，又，所以，故选择C。（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2
4、名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有，故选择D。（8）设非零向量、满足，则（A）150 （B）120 （C）60 （D）30【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。（9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为(A) (B) (C)
5、(D) 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理7）解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为(A) (B) (C) (D) 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数的图像关于点中心对称由此易得.故选A（11）已知二面角为600 ，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理10）解:如图分别作 ，连 ，又当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。（12）已知
6、椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=(A) (B) 2 (C) (D) 3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解：过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修选修）第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效3本卷共10小题，共90分二、
7、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）（13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_.【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）解: 因所以有（14）设等差数列的前项和为。若，则_.【解析】本小题考查等差数列的性质、前项和，基础题。（同理14）解: 是等差数列,由,得。(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以。（16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 其中正
8、确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写或三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已知的通项公式.【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。解：设的公差为，数列的公比为，由得 得 由及解得故所求的通项公式为。(18)(本小题满分12分)（注意：在试用题卷上
9、作答无效）在中，内角的对边长分别为.已知，且，求.【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得，又 ，即 由正弦定理得又由已知得 ，所以 故由解得(19)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，（）证明：是侧棱的中点；（）求二面角的大小。（同理18）解法一：（I）作交于点E，则，平面SAD连接AE，则四边形ABME为直角梯形作，垂足为F，则AFME为矩形设，则，由解得即，从而所以为侧棱的中点（），又,所以为等边三角形，又由（）知M为SC中点，故取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知为二面角的平面角连接，在中，所
10、以二面角的大小为解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设，则（）设,则又故即解得，即所以M为侧棱SC的中点（II）由，得AM的中点又所以因此等于二面角的平面角所以二面角的大小为 (20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。（）求再赛2局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合
11、题。解：记“第局甲获胜”为事件，“第局乙获胜”为事件。（）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则，由于各局比赛结果相互独立，故（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而，由于各局比赛结果相互独立，故（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数.（）讨论的单调性；（）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（）令得或；令得或因此，在区间和为增函数；在区间和为减函数。（）设点，由过原点知，的方程为，因此，即，整理得，解
12、得或因此切线的方程为或 (22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（）求的取值范围（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：（）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得 与有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根由此得解得又所以的取值范围是（II） 设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则令，则 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。方法2：设四个交点的坐标分别为、则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及（）得由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积则将，代入上式，并令，得，令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为
