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1、20133.3 等比数列及其求和一、典型例题：1.(1) 若成等比数列，则的值为_ . (2) 在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为_ . 2. 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ B ）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在3. 设等比数列的前n项和为，前n项的倒数之和为，则的值为（ A ）.（A） （B） （C） （D）4. 在等比数列中，（ C ）.ABC或D或5. 等比数列的首项，前n项和为Sn，若,_ . 6. 已知数列是公比的等比数列，给出下列六个数列：（1）； (2) ； (3) ；(4) ；(5) ；(
2、6) . 其中仍是等比数列的个数为（ B ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）37. 若六个数成等比数列，则= . 8. 设是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q= _. 19. 在正项数列中，则_ .10. 已知数列的通项公式为，求数列的前n项和为 .11. 已知定义在R上的函数和数列满足：，且（1）令，证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式 .解（1）由此推知：2分当4分是一个首项为2公比为2的等比数列6分（2）由（1）知：7分当时，9分而11分对n=1时也成立，12分12. 设数列的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：，其中为已知常数. （1）求证：数
3、列an是等比数列；（2）设的公比为，作数列，使，求的通项bn ；（3）求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1.12. 解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2= 又3tSn（2t+3）Sn1=3t3tSn1（2t+3）Sn2=3t 得3tan（2t+3）an1=0 ， 所以an是一个首项为1，公比为的等比数列.（2）由f（t）=，得bn=f+bn1. bn=1+（n1）=（3）由bn=，可知b2n1和b2n是首项分别为1和，公差均为的等差数列于是b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1 =b2（b1b3）+b4（b3b5）+
4、b6（b5b7）+b2n（b2n1+b2n+1）=（b2+b4+b2n）=（2n2+3n）二、练习题：1. 已知正项数列为等比数列，且，则_ . 52. 等差数列的公差，且成等比数列，则= . 3. 设等比数列的前n项和为Sn，若S3S62S9，则数列的公比_. 3.解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因a10，得S3+S62S9，显然q=1与题设矛盾，故q1.由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6q31）=0，由q0，得2q6q31=0，从而（2q31）（q31）=0，因q31，故q3=，所以q=.4. 等比数列的前项的乘积记为，若，则_ . 5. 设An为数
5、列的前n项和，An=（an1），且.（）求数列an的通项公式；（）若da1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn，则称d为数列an与bn的公共项，将数列anbn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn，求证：数列的通项公式为： .5.解：（）由已知An=（an1）（nN），当n=1时，a1=（a11）， 解得a1=3，当n2时，an=AnAn1=（anan1），由此解得an=3an1，即=3（n2）. 故an=3n（nN*）；（）证明：由计算可知a1，a2不是数列bn中的项， 因为a3=27=463，所以d1=27是数列bn中的第6项设ak=3k是数列bn中的第n项，则3k=4m+3（k，mN），因为ak+1=3k+1=33k=3（4m+3）=4（3m+2）+1， 所以ak+1不是数列bn中的项.而ak+2=3k+2=93k=9（4m+3）=4（9m+6）+3， 所以ak+2是数列bn中的项由以上讨论可知d1=a3，d2=a5，d3=a7，dn=a2n+1 所以数列dn的通项公式是dn=a2n+1=32n+1（nN*）练习题答案： 1. 5 2. 3. 4. 5.
