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1、抽屉原理教学反思抽屉原理指的是在某些数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。本节课把4个铅笔放进3个抽屉中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉原理”，即把m个物体任意分放进n个空抽屉里（mn，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类问题的 “证明”主要涉及的方法是 “枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法，使学生逐
2、步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。教材不仅是涉及到最简单的“抽屉原理”：把 m个物体任意分放进n 个空抽屉里（m n， n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。还涉及了了“抽屉原理”更为一般的形式：教材的例2涉及的就是，把多于 kn个物体任意分放进 n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。如果问题所讨论的对象有无限多个，“抽屉原理”还有另一种表述：把无限多个物体任意分放进 n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个物体。抽屉原理是很难的，其中原理也是难理解，本节课所要解决的问题是：1 使学生初步了解抽屉原理2
3、 通过动手操作、画图、推理等活动初步让学生经历“数学证明”的过程。3 在学习中能发现一定的规律，培养学生的“模型”思想。把4支铅笔放进3个抽屉中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉问题”。学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进2支铅笔，从而产生疑问，激起寻求答案的欲望。在这里，“4支铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个抽屉”就是“3个抽屉”，这个问题用“抽屉问题”的语言来描述就是：把4个物体放进3个抽屉，总有一个抽屉至少有2个物体。为了解释这一现象，本课呈现了两种思考方法。第一种方法是用操作的方法进行枚举。通过直观地摆铅笔，发现把4支铅笔分配到3个抽屉中一
4、共只有四种情况（在这里，只考虑存在性问题，即把4支铅笔不管放进哪个抽屉，都视为同一种情况）。在每一种情况中，都一定有一个抽屉中至少有2支铅笔。通过罗列实验的所有结果，就可以解释前面提出的疑问。实际上，从数的分解的角度来说，这种方法相当于把4分解成三个数，共有四种情况，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。第二种方法采用的是“反证法”或“假设法”的思路，即假设先在每个抽屉中放1支铅笔，3个抽屉里就放了3支铅笔。还剩下1只，放入任意一个抽屉，那么这个抽屉中就有2支铅笔了。这种方法比第一种方法更为抽象，更具一般性。例如，如果
5、要回答“为什么把（n 1）支铅笔放进 n个抽屉，总有一个抽屉里至少放进2支铅笔”的问题，用枚举的方法就很难解释，但用“假设法”来说明就很容易了。教学时应有意识地让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”。教学时，在学生自主探索的基础上，可以引导他们对教材上提供的两种方法进行比较，思考一下枚举的方法有什么优越性和局限性，假设的方法有什么优点，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。学生在解决了“4支铅笔放进3个抽屉”的问题以后，可以让学生继续思考：把5支铅笔放进4个抽屉，总有一个抽屉里至少放进2支铅笔，为什么？如果把6支铅笔放进5个抽屉，结果是否一样呢？把7支铅笔放进6个抽屉呢？把10支铅笔放
6、进9个抽屉呢？把100支铅笔放进99个抽屉呢？引导学生得出一般性的结论：只要放的铅笔数比抽屉的数量多1，总有一个抽屉里至少放进2支铅笔。接着，可以继续提问：如果要放的铅笔数比抽屉的数量多2，多3，多4呢？引导学生发现：只要铅笔数比抽屉的数量多，这个结论都是成立的。通过这样的教学过程，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。教学时应鼓励学生用多样化的方法解决问题，自行总结“抽屉原理”。例如，在解决“5个铅笔放2个抽屉”的问题时，由于数据较小，学生用动手操作或分解数的方法仍有其直观、简单的特点，这也是学生最容易想到的方法。但由于枚举的方法毕竟受到数据大小的限制，随着书的本数的增多，教师应
7、该进行适当的引导。假设法最核心的思路就是把书尽量多地“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本。这个核心思路是用“有余数除法”这一数学形式表示出来的，需要学生借助直观，逐步理解并掌握。当学生利用有余数除法解决了本例中的三个具体问题后，教师应引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，要把某一数量（奇数）的铅笔放进2个抽屉，只要用这个数除以2，总有一个抽屉至少放进数量比商多1的书。例如，要把40个铅笔放进9个抽屉，409=44，因此，总有一个抽屉至少放进5个铅笔。如果进一步一般化的话，就是：要把 a个物体放进n个抽屉，如果an=bc（c0），那么一定有一个抽屉至少可以放（b1）个物体。这一结论与前文提到的“把多于kn 个物体任意分放进 n个空抽屉（k 是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k1）个物体”意思是完全一致的。学生完成“做一做”时，可以仿照例2，利用83=2（只）2（只），可知总有一个鸽舍里至少有3只鸽子。整节课这样上下来，思路很清晰，节奏放得也比较慢，环环相扣，步步为营，学生学得还是比较扎实，甚至连后进生也能听懂今天的课，效果还是不错的。还需要改进的是，某些地方节奏应该还可以再快点，以至于最后还能有充分的时间进行独立思考练习，或者有足够的时间来解决稍复杂的抽屉原理的变式习题，课的效果就会更好。
