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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date小升初数学衔接班第7讲重新认识图形小升初数学衔接班第7讲重新认识图形小升初数学衔接班第7讲重新认识图形一、学习目标:通过学习三角形的边角关系及中线、高线、角平分线等内容,体会初中几何与小学的不同,掌握基本的推理、论证的方法,以便更快适应中学的学习。二、学习重点:学会基本的推理、论证的方法。三、课程精讲:1、知识回顾在小学,我们学习过一些几何图形,比如三角形:(1)三角
2、形内角和(量一量、拼一拼,找出规律)(2)三角形三边的关系(摆一摆,找出规律)提问:在测量三角形的内角和时,你真能测量得绝对精确、没有一点误差吗?在把三角形的内角拼接为一个平角时,你真的认为能拼成一个平角吗?会不会只是很接近平角呢?在用小棍摆三角形时,你发现了两边之和必须要大于第三边。这个结论对所有长度的小棍都成立吗?你没有摆的其他长度也是这样吗?2、新知探秘知识点一 为何要推理?例1、图(1)中,线段AB、CD哪一条长?图(2)中,线段AB、AC哪一条长?图(3)中,两个带阴影的椭圆哪一个大?图(4)中,两条直线之间一样宽吗?知识点二 推理的依据推理时要做到言必有据,那什么是推理的依据呢?这
3、就是学过的定义、公理和定理。(1)定义:对于一个名词或术语的意义的说明就叫做定义。比如,射线的定义为“直线上一点和它一旁的部分叫做射线”、角的定义为“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”等。(2)公理:被人类长久以来的实践所证实,作为推理依据的事实叫做公理。比如,“经过两点有且只有一条直线”、“在所有连接两点的线中,线段最短”等。(3)定理:用逻辑推理的方法判断为正确的命题叫做定理。以后,我们将会学习到许多定理。例2、已知,如图,D是AB中点,E是AC中点,且ABAC。求证:ADAE。思路导航:有同学认为这显然成立,却不能说出推理的依据,这是不可取的。解答:D是AB中点(已知)(线段中点定义
4、)E是AC中点(已知)(线段中点定义)又ABAC(已知)(等式的性质)即ADAE(等量代换)点津:要养成“讲道理”的习惯,初学时应在每一步之后注明推理的依据。在小学阶段,“三角形内角和为180”的证明,需要用到平行线的相关性质;而证明“三角形两边之和大于第三边”要用到公理“在所有连接两点的线中,线段最短”。例3、如图,已知ABC中,ABAC4,P是BC上任意一点,PDAB于D,PEAC于E,若ABC的面积为6,求PDPE的值。思路导航:仔细体会题目意思,“P是BC上任意一点”,明确是要求出P在BC上的任何位置时,PD PE的值。再进一步分析,若PD PE的值不变的话,只要假设P在某个特殊的位置
5、,就能比较方便地求出PDPE的值了。但这并不是推理证明。解答:连接APPDAB(已知)(三角形面积公式)PEAC(已知)(三角形面积公式)(等式的性质)即(等式的性质)点津:这里的线段AP是我们为了解题方便而作出来的,这叫做辅助线。通常辅助线用虚线表示。添加辅助线来解题,是我们以后解几何题时常用的办法。在中学,对于解答题,并不是只要求出得数即可,而应重视解答过程中的论证及其依据。知识点三 三角形的外角三角形一条边的延长线与其相邻的一条边组成的角,叫做三角形的外角。关于三角形的外角有如下定理:定理1:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。定理2:三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内
6、角。定理3:三角形的外角和为(每个顶点处的外角只取其中一个)。在中学学习中,同学们一定不能只注重结论,还必须弄清楚其来源和推理过程。例4、已知:如图,在中,BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,H是BE和CF的交点。求的度数。思路导航:无论解答题还是证明题,其解答或证明过程都是将已知条件和结论联系起来。因此,我们的任务就是将“”与“”联系起来,过程中可能会用到条件“BE是AC边上的高,CF是AB边上的高”。解答:BE是AC边上的高CF是AB边上的高(已知),(高线定义)在中,(三角形内角和定理)(已知)(已证)(等式的性质)即在中,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)(已证)(已
7、证)点津:有的同学认为只有证明题才需要推理依据,计算题与证明题不同,只要算出得数即可。这个观念是极其错误的,计算题在计算过程中也存在着推理论证,也要求言之有据!知识点四 三角形的角平分线在三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做这个三角形的角平分线。例5、已知:如图,中,AD是角平分线,。求的度数。思路导航:由于已知,所以,为求的度数,只需再知道的度数就可以了。为求,只需再知道的度数就可以了。为求,只需知道和的度数就可以了。而和的度数已知,所以,问题得解。解答:在中,(三角形内角和定理)(等量减等量,差相等。可简称为等式的性质)又,(已知)(等量代换)又A
8、D平分(已知)(角平分线定义)(等量代换)在中,(三角形内角和定理)(等式的性质)(等量代换)点津:我们在分析题目的过程中,经常使用“要求什么,只要求什么”的思维方法,这种思维方法即为分析法,是一种很常用的方法,在分析解题思路时很有用。我们在分析、听讲、阅读几何问题时,一定要结合几何图形来进行。四、知识提炼导图:五、目标期望:通过本讲的学习,希望同学们了解初中研究几何的方法与小学不同,主动、自觉地培养自己理性思维的习惯,即演算、论证过程要言之有据。希望同学们在后续的学习过程中,形成这样的观点:学习几何的过程中最重要的不是许许多多的结论,而是如何得出这些结论的过程!本讲选用三角形为例来说明以上观
9、点,希望同学们能用新的观点重新研究小学的一些结论(比如三角形的内角和、三边的大小关系等),多思考为什么能得出这些结论。六、下讲预告:著名数学教育家波利亚如是说:“要想成为一个好的数学家,你必须首先是一个好的猜想家,数学家的创造性工作成果是论证推理,即证明,但这个证明是由合情推理、由猜想来发现的。”国家义务教育课程标准中明确指出“培养学生创新意识”、“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”下一讲,我们将学习如何观察、实验、猜测,它们是创造的基石。【同步练习】(答题时间:45分钟)1、火眼金睛:(1)下列说法中正确说法的个数是( )钝角三角形有两条高在三角形
10、内部;三角形三条高至多有两条不在三角形内部;三角形三条高的交点不是在三角形内部,就是在三角形外部;钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(2)如果三角形三边长分别为、,则的取值范围是( )A. B. C. D. (3)一个等腰三角形的周长是11,其中一边长是3,则其他两边长是( )A. 3和5B. 4和4C. 3和5或4和4D. 不能确定(4)五条线段的长分别为1,2,3,4,5,以其中三条线段为边长可以构成的三角形的个数为( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个(5)如图,满足下列( )关系式A. B. C. D. 2、对号入座:(
11、1)已知:如图,中,OA、OB分别平分、,若,则 ;(2)已知:如图,AD、AE分别是的高和角平分线,若,则 , , ;(3)已知中,垂足为D、E,AD6,BC10,BE8。则AC的长为_;(4)已知中,AD平分,AE是BC边上的高,则_;(5)已知:如图,BE、CE是、的平分线,BF、CF是、的平分线,则 , 。3、牛刀小试:(1)已知:如图,中,AE平分。求证:。(2)已知:中,D为AB边上一点,且ADAC,求证:。【试题答案】1、火眼金睛:(1)A 解析:钝角三角形只有一条高在三角形内部,错;三角形三条高不能都不在内部,对;三角形三条高的交点可以在定点处,错;钝角三角形三个内角的平分线的
12、交点一定在三角形内部,错。(2)C 解析:因为,边最长,所以只要满足即可,解得。(3)C 解析:若3为腰长,则底边为;若3为底边长,则腰长为;均能构成三角形。(4)A 解析:较短边为1和2时,均不能构成三角形;较短边为1和3时,均不能构成三角形;较短边为1和4时,均不能构成三角形;较短边为2和3时,能构成三角形的只有2、3、4;较短边为2和4时,能构成三角形的只有2、4、5;较短边为3和4时,能构成三角形的只有3、4、5。(5)A 解析:。2、对号入座:(1)(2)、,。(3)7.5由,得,。(4),。(5),3、牛刀小试:(1)证明:在中,(三角形内角和定理)(已知)(等式的性质)在中,(三角形内角和定理)(高线的定义)(等式的性质) AE平分(已知)(角平分线定理)又,(已证)(等量代换)又(对顶角相等)(等量代换)(2)证明:在中,(三角形两边之和大于第三边)(不等式性质),(已知)(等量代换)(等量代换)-