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1、 2023年全国高中数学联赛（B卷）（一试）一、 填空题（每个小题8分，满分64分1：已知函数，其中为常数，假如，则的取值范围是 2：已知为偶函数，且，则的值为 3：某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系为：，其中为正实数，假如该房间的最大温差为10摄氏度，则的最大值是 4：设正四棱柱的底面是单位正方形，假如二面角的大小为，则 5：已知数列为等差数列，首项与公差均为正数，且依次成等比数列，则使得的最小正整数的值是 6：设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和，若是单元集，则的值为 7：设为椭圆上的动点，点，则的最大值为 8：正2023边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点，
2、则的概率为 二、 解答题9：（本题满分16分）数列满足对任意正整数，均有（1） 求的通项公式；（2） 假如存在实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围10：（本题满分20分）设为四个有理数，使得：，求的值11：（本题满分20分）已知椭圆的右焦点为，存在通过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围 （加试）1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数都有：，并拟定等号成立的充要条件2：（本题满分40分）如图，在等腰中，设为其内心，设为内的一个点，满足四点共圆，过点作的平行线，与的延长线交于求证：3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组满足：4：（本题满分50
3、分）给定正整数，设是中任取个互不相同的数构成的一个排列，假如存在使得为奇数，或者存在整数，使得，则称是一个“好排列”，试拟定所有好排列的个数。 2023年全国高中数学联赛（B卷）解答 （一试）三、 填空题（每个小题8分，满分64分1已知函数，其中为常数，假如，则的取值范围是 答案：（-2,+）解：，所以，解得：2已知为偶函数，且，则的值为 答案：2023解：由己知得，即=20233某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系为：，其中为正实数，假如该房间的最大温差为10摄氏度，则的最大值是 答案：解：由辅助角公式：，其中满足条件，则函数的值域是，室内最大温差为，得 故,等号成立当
4、且仅当4设正四棱柱的底面是单位正方形，假如二面角的大小为，则 答案：解：取BD的中点O，连接OA, OA1 , OC1则A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此A1OC1=, 又OA1C1是等边三角形故A1O= A1C1=，所以5已知数列为等差数列，首项与公差均为正数，且依次成等比数列，则使得的最小正整数的值是 答案：34解：设数列的公差为,则由于依次成等比数列，所以，即化简上式得到：又，所以由 解得6设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和，若是单元集，则的值为 答案：解：点集A是圆周，点集B是恒过点 P （-1,3）的直线及下方（涉及边界）作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线
5、l是过点P的圆的一条切线故圆的圆心 M (1, l）到直线l的距离等于圆的半径，故结合图像，应取较小根7设为椭圆上的动点，点，则的最大值为 答案：5解：取F ( 0 , l )，则 F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4因此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|4+|FA|=4+l= 5当P在AF延长线与椭圆的交点时，|PA|+|PB|最大值为58正2023边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点，则的概率为 答案解：由于，所以故的充足必要条件是，即向量的夹角不超过对任意给定的向量，满足条件的向量可的取法共有： 种，故的概率是：四、 解答题9（本题满分16分
6、）数列满足对任意正整数，均有（3） 求的通项公式；（4） 假如存在实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围解： (l)在中令可以得到的递推公式：因此的通项公式为：8 分（事实上，对这个数列,，并且所以 是数列的通项公式 (2)注意到：，所以故,并且，因此的取值范围是16 分10（本题满分20分）设为四个有理数，使得：，求的值解：由条件可知，是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，的绝对值互不相等，不妨设，则中最小的与次小的两个数分别是及，最大与次大的两个数分别是及，从而必须有 10 分于是故，15分结合，只也许由此易知，或者检查知这两组解均满足问题的条件故 20 分11（本题满分2
7、0分）已知椭圆的右焦点为，存在通过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围解：设椭圆的右焦点F的坐标为（, 0)显然l不是水平直线，设直线l的方程为，点A、B的坐标分别为，将直线 l的方程与椭圆方程联立，消去得 由韦达定理 5分由于等价于，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存在实数，使得, 显然存在满足等价于 15 分又，所以等价于，两边除以 得到,即由于，解得：20 分 加试1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数都有：，并拟定等号成立的充要条件解：当不全相等时，原不等式等价于上式可化简为, 即 考虑到，故由平均不等式得， 因此原不等式成立 20 分
8、下面考虑等号成立的充足必要条件注意到中档号成立的充足必要条件是若，则，显然 ，与条件矛盾！若，则，但不全为0，不妨设，则类似可得其余两种情况，即中恰有一个非零这时原不等式中档式的确成立因此，原不等式等号成立当且仅当中有两个是0，另一个为正数40 分2（本题满分40分）如图，在等腰中，设为其内心，设为内的一个点，满足四点共圆，过点作的平行线，与的延长线交于求证：证明：连接BI,CI设I, B , C, D四点在圆O上，延长DE交圆 O于F，连接FB，FC由于BD|CE，所以DCE=180-BDC=BFC 又由于CDE=CDF=CBF，所以BFCDCE，从而再证明AB, AC与圆O相切事实上，由于
9、ABI=ABC=ACB=ICB，所以AB与圆 O相切同理AC与圆O相切 20 分因此有ABDAFB，ACDAFC，故,即 30 分结合、，得，即 40 分3（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组满足：证明：考虑的特殊情况，此时成立10 分由知，故由知，故为满足、，取,此时40 分当正整数2023时，均符合条件，因此满足条件的正整数组有无穷多个 50 分4（本题满分50分）给定正整数，设是中任取个互不相同的数构成的一个排列，假如存在使得为奇数，或者存在整数，使得，则称是一个“好排列”，试拟定所有好排列的个数解：一方面注意，“存在，使得为奇数”是指存在一个数与它所在的位置序号的奇偶性不同；“
10、存在整数，使得”意味着排列中存在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性将不是好排列的排列称为“坏排列”，下面先求坏排列的个数，再用所有排列数减去坏排列数注意坏排列同时满足：（1）奇数位必填奇数，偶数位必填偶数；（2）单调递增10 分下面来求坏排列的个数设P是坏排列全体，Q是在中任取项组成的单调递增数列的全体对于P中的任意一个排列，定义 由于，故由条件（1）可知，所有的均属于集合再由条件（2）可知，（）单调递增故如上定义的给出了的一个映射显然是一个单射 30 分下面证明是一个满射事实上，对于Q中任一个数列，令（）由于整数，故，从而故单调递增又，而，及为偶数，故为P中的一个排列显然，故是一个满射综上可见，是的一个一映射，故40分又Q中的所有数列与集合的所有元子集一相应，故，从而最后，我们用总的排列数扣除坏排列的数目，得所有的排列的个数为 50 分
