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1、计算实习报告姓名:一、实习冃的蔡欣麟学号:20133027361、熟悉偏微分方程数值解的理论知识；2、提高matlab编程能力。3、进一步加深对使用matlab解决相关数学问题的理解。二、实习内容运用matlab实现对Laplace方程第一边值问题的求解。三、算法公式考虑如下区域0 =二0 U 00上求解Poisson方程边值问题Lu = -Au = f(x,y) 6 (a, b) x (c,d) = Q (1)(兽+岭)叽=心y)的差分方法。用差分方法求解椭圆边值问题时，对区域离散化统一采用矩形 网格剖分。对0是矩形区域的情况，可将G,b等分为N等分，记 h=/N；将c,d等分为M等分，记h
2、2 = Zd/M； Q的离散结 果记为网格节点记为(i, j)，边界结点为i二1和N+l, j二1和 M+1的情形，内结点为2SiSN, 2 j M的情形。在差分方程中，微分方程的离散化处理都采用差商代替微商的方 法。为此，要先假设解函数u (x,y)足够光滑，以便利用Taylor 展开式做出差商近似。设(i,j)是内节点，为了表现在该结点处的微商，应用Taylor展式，有17-u(Xi+i，yf) 2u(xf,yf) + u(u)。2(俎,必)h2 d4u(xifyt) h4 d6u(xityi)12 dx4 360dx2+ O(hJ)dx4dx61 2“(俎,必)+ (sy)d2u(xif
3、yi) h22 0%(d)h24 d6u(xityi*2=11dy2 12 dy4 360 dy6 + (26)用以上两式中的沿x和y方向的二阶中心差商直接代替方程（1）中的Uxx和Uyy，就得到右仏 +切2uiJ + Uiij 右% + 1 2uij + UiJl = fij(2)由于式（2）中只出现u在点（ij）及其4个邻点共五个节点处的值；另外，对一切内节点（2）都适用；称（2）为五点差分格式。五点差分格式的截断误差为Ri,j = Au(xf,yf) - 側(切) = 0(h2)四、程序设计1、计算实例在区域G：oxo.5,o y0.5求解Laplace方程第一边值问题：（要求取x方向与
4、y方向取相同的步长）：Au = 00 x,y 0.5u(0, y) = u(x,0) = 0u(x,0.5) = 200xu(0.5,y) = 200y(结果：取11=0.125,利用五点菱形格式，用GaussSeidel进行迭代计 算得数值结果按先沿x方向后沿y方向为：5.25, 12.50, 18.75, 12.50, 25.00, 37.50, 18.75, 37.50, 58.25.)2、模块设计网格剖分；(2) 近似；(3) Gauss-Seidel 迭代；(4) 输出结果。3、变量说明q：内点初始值(边界值的算术平均值序号点的函数值U:每次迭代序号点的函数值ill：上次迭代的函数值
5、du：两次迭代函数值的偏差。4、程序清单(附)clear;clc;q=25;u=0;0：0;0：0;0：q;q：q;25;0：q;q：q;50;0：q;q：q;75;0：25;50;75;100;for i=l:100for j=1:25endu(7)=(u(2)+u(6)+u(8)+u( 12)/4;u(8)=(u(3)+u(7)+u(9)+u( 13)/4;u( 9 )=(u(4 )+u( 8 )+u( 10)+u( 14)/4;u( 12)=(u(7)+u( 17)+u( 11 )+u( 13 )/4;u( 13)=(u(8)+u( 18)+u( 12)+u(14)/4;u( 14)=(
6、u(9)+u( 19)+u( 13)+u( 15)/4;u( 17)=(u( 12)+u( 16)+u( 18 )+u(22)/4;u( 18)=(u( 13)+u( 17)+u( 19)+u(23 )/4;u( 19)=(u( 14)+u( 18)+11(20)+11(24)/4： for j=1:25du(j)=ii(j)-ul(j);endif nonn(du, 1 )=0.0000001 break; end endfbri=l:5for j=l:5u2(i,j)=ii(5*(i-l)+j);endend mesh(u2);五、结果分析这样我们就求岀了这25个点的精确值，在0,0.5x0,0.5 区域内的所有点都可以用最靠近它的网格点来近似，这样 我们就很好地解决了这个偏微分方程问题。六、实习心得通过本学期的计算实习，我对偏微分数值解有了更深的了解。虽然学艺不精，对matlab的掌握还有待提高，但是较以前有了明显进步，应该说是这门课让我在这学期受益良多。此外，这也更坚定了我学好matlab等编程软件以解决与自己专业相关问题的决心。最后，感谢王老师这一学期的陪伴与悉心教导，在这里想真心地对王老师说声，老师您辛苦了！谢谢您！
