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1、2008-2009淮阴中学高一数学竞赛学案 NO.2 编制:胡飞虎等差数列、等比数列例1.设等差数列的首项与公差均为非负整数,项数不小于3,且各项之和为972,则这样的数列有多少个?解:设等差数列的首项为,公差为。由已知有,即。又因为,所以只可能取,又因为且均为整数,故;若,由于为正数,则,即,故,这时有或;若,则,这时有或例2.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有多少项。例3.在数列中,其中(1) 求数列的通项公式(2)求数列的前n项和(3)证明存在,使得对任意均成立(十年高考NO.153) 例4. 已知数列中,且,其中k=1,2,3,.(
2、1)求 (2)求的通项公式。 (十年高考NO.155)例5. 数列的定义如下:,且当时,有已知,求正整数n解:由题设易知,又由,可得,当n为偶数时,;当 是奇数时, (4分)由,所以n为偶数,于是,所以,是奇数于是依次可得:, 是偶数,是奇数,是偶数,是奇数,是偶数,是偶数,是奇数, (9分),是偶数,是奇数,是偶数, ,所以,得n238例6.已知数列都是等差数列,对一切(1) 求的值。(2)求使为整数的所有正整数n.例7. 已知数列满足,其中是给定的实数,是正整数,试求的值,使得的值最小【解】令,由题设,有,且5分 于是,即()10分又,则当的值最小时,应有,且即, 15分由()式,得 由于,且,解得,当时,的值最小 20分例8. 数列满足:证明:(1)对任意为正整数;(2)对任意为完全平方数。证明:(1)由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得-得由式及可知,对任意为正整数.10分 (2)将两边配方,得由0(mod3)为正整数式成立.是完全平方数.20分