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1、1. ( 1)定义：平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数(大于|FF2|)的点的轨迹叫做椭 圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意当到两定点的距离之和等于|FF21时，动点的轨迹是线段f1f2；当到两定点的距离 之和小于|FF21时，动点的轨迹不存在.x2 y 2(2)标准方程：中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为：一 + = 1 (ab0)； a 2 b2y 2 x2中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：二+厂=1 (ab0).a 2 b2注意当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2+By2=l的形式，其中A，B是不x2y 2相等的正常数
2、，或设成+二=1 (m2丰n2 )的形式.m 2 n 22. ( 1)椭圆的几何性质：与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦 距、离心率等；与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等.注意在解题时要特别注意第二类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条 坐标轴上，再进行求解.(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：求出a c代入公式e二-；只需要根据一个条件得到关于a b c的齐次式，结 a合b2= a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e 或e2的方程(不等式)，解方程(不
3、等式)即可得e(e的取值范围).3. (1)位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A 一定不为 0)，设其判别式为A, A0o直线与椭圆相交；4 = 0o直线与椭圆相切；Ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2, y2)，弦中点 M(x, y0).b2x斜率：k=-亠；弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定a2 y 20b2a 24. 求轨迹方程(1) 定义法：求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则 可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可
4、从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建 立关系式，从而求出方程；定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什 么形式的方程的情况利用条件把待定系数求出来，使问题得解(2) 相关点法(代入法)：若动点P(x，尹)所满足的条件不易表述或求出，但随另一动点Q(x, y)的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹方程给定或容易求得，则可先将x, y 表示为x,尹的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得点P的轨迹方程，这种求轨迹方程 的方法叫做相关点法，也称代入法用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x=f (x，y)，y=g(x，y)，然后代入已知曲线方程求对称曲线(轴对称、中心对称等)方
5、程实质上也是用代入法(相关点法)解题1. (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常 数2a 1 FF I这一条件.12(2)利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常 用到结论有：(其中，0 =ZFPF )12 | PF I +| PF| =2a ； 4c2= |PF I2 + |PF F -2|PF ?PFcoS0 ； 当P为短轴端点时，6最大.1S =APF!F22 PF PF sin0Sin b 21 + cos 0当y = 土b，即p为短轴端点时，S 有最大值为be.0APF1 F2焦点三角形的周长为2(a+e).2. 椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到 一个图形.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如一a x a, b y b,0 e 1 , 在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系3. (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题涉及弦中点的问题常常用 “点差法”解决,往往会更简单(2) 代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系常涉及中点问题、 三角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识
